Jean Fresnel – författare

150 exercices corrigés pour les étudiants en licence, maîtrise et CAPES de mathématiques : notions d''orthogonalité, de groupes cristallographiques, de bases orthogonales, de sous-groupes distingués, et de groupe unitaire.

Les notions classiques sont abordées de façon élémentaire et rigoureuse : anneau, corps, homomorphisme, idéal, anneau quotient, idéal premier, idéal maximal, localisation, modules, algèbres, anneau de polynômes, anneau des séries formelles, modules et anneaux noethériens, anneau factoriel, extensions entières d''anneaux, extensions transcendantes de corps. Les résultats de base sont démontrés : propriétés de l''anneau principal, théorèmes de Galois, théorème de transfert aux anneaux de polynômes, théorème des zéros de Hilbert, critère d''Eisenstein, théorème de Luroth, propriétés des polynômes symétriques et du résultant.Chaque chapitre se termine par des exercices permettant d''aboutir à des résultats nouveaux : le petit théorème de Fermât, celui de Wilson, les nombres de Mersenne, de Fermât, les nombres parfaits, le théorème de Sturm, la règle des signes de Descartes, le théorème de d''Alembert-Gauss, l''indépendance des caractères (Artin), les extensions kummeriennes, les extensions d''Artin-Schreier, les quaternions de Hamilton, les nombres de Liouville, un théorème de Krull sur les anneaux noethériens, la topologie de Zariski, le corps des fonctions elliptiques, la sphère de Riemann, les algèbres géométriquement intègres, les algèbres réduites, un revêtement cyclique de la droite projective...Au total, 260 exercices qui font l''originalité de l''ouvrage.

L''ouvrage s''adresse aux étudiants de premier cycle, de licence ou de maîtrise de mathématiques, et constitue un excellent outil pour les candidats aux concours du CAPES et de l''agrégation.Les notions classiques sont abordées de façon élémentaire et rigoureuse : groupe, sous-groupe, sous-groupe distingué, groupe quotient, groupe cyclique, produit direct, somme restreinte, somme directe de groupes, produit semi-direct de groupes, groupe opérant sur un ensemble, groupe libre, produit libre de groupes, groupe défini par générateurs et relations.

Les résultats de base sont démontrés : structure du groupe alterné An, célèbres théorèmes de Sylow, suite dérivée, suite centrale descendante en relation avec les groupes résolubles ou nilpotents ; la structure des groupes abéliens de type fini est complètement élucidée par des opérations élémentaires sur les lignes et colonnes d''une matrice.

Le dernier paragraphe, le plus riche et original, regroupe 75 exercices dont certains, faciles, permettent de se familiariser avec des groupes finis d''ordre "petit". D''autres exercices rencontrent des groupes célèbres provenant de la géométrie, de l''algèbre linéaire et de l''arithmétique, comme les groupes de polyèdres réguliers en dimension 3, les fameux groupes de Coxeter, le groupe fondamental d''une surface de Riemann, les célèbres théorèmes de Schur, Burnside et Jordan sur les sous-groupes finis de Gln(C)...

Riche de 200 exercices et de 600 figures, cet ouvrage s''adresse non seulement aux étudiants en licence et en master, mais également aux esprits les plus fertiles intéressés à découvrir les beautés d''une des sciences les plus anciennes et les plus solides. Abordant une vision claire, accessible à tout étudiant doté des rudiments de l''algèbre linéaire et bilinéaire de la licence, cet ouvrage, destiné aux candidats au concours du CAPES et de l''agrégation, comporte quatre chapitres : La géométrie affine, qui introduit les espaces affines, les variétés linéaires, le calcul barycentrique et les applications affines ; La géométrie projective, qui conduit à un espace de compactification naturelle de l''espace affine. C''est le cadre nécessaire pour l''étude en profondeur des cas d''exceptions rencontrés dans les énoncés affines ; la belle théorie des coniques projectives y suffit à elle seule pour convaincre de l''élégance et de la puissance de l''outil projectif ; La géométrie euclidéenne, plus connue, est ici davantage étoffée. Y sont traitées les géométries des formes classiques et la détermination des cinq polyèdres réguliers en dimension 3 et La géométrie non euclidéenne, qui sourd du cinquième axiome des parallèles de la géométrie d''Euclide, est traitée dans le sillage des deux mille ans d''interrogation des mathématiciens. Pour cette troisième édition, le corpus des exercices a été profondément remanié.

Ce recueil d''une centaine d''exercices corrigés sur l''algèbre et la géométrie, avec des résultats classiques et d''autres originaux, s''adresse en premier chef aux candidats à l''Agrégation qui trouveront dans les sujets abordés un choix important de développements pour l''épreuve orale. C''est aussi un outil précieux pour les candidats au CAPES et aussi pour les étudiants en Master de mathématiques. Ajoutons que tout esprit curieux découvrira dans cet ouvrage des beautés mathématiques qui aiguiseront sa sagacité. Les matières y sont découpées de façon traditionnelle en cinq chapitres. Sur l''algèbre linéaire, de nombreux sujets concernant les groupes linéaires sont abordés, que ce soient les matrices à coefficients dans Z, Q, ou bien R et C avec des propriétés topologiques. À propos d''espaces quadratiques, on trouvera des résultats de Cauchy sur les matrices symétriques réelles, mais aussi sur les groupes irréductibles et les sous-groupes compacts de GLn(R) et GLn(C). Le chapitre sur les groupes est riche en exercices sur le groupe symétrique, sur les p-groupes, et présente aussi un paragraphe conséquent sur les représentations linéaires de groupes finis et la transformée de Fourier discrète.

L''ouvrage s''adresse aux étudiants de premier cycle, de licence ou de maîtrise de mathématiques, et constitue un excellent outil pour les candidats aux concours du CAPES et de l''agrégation.Les notions classiques sont abordées de façon élémentaire et rigoureuse : groupe, sous-groupe, sous-groupe distingué, groupe quotient, groupe cyclique, produit direct, somme restreinte, somme directe de groupes, produit semi-direct de groupes, groupe opérant sur un ensemble, groupe libre, produit libre de groupes, groupe défini par générateurs et relations.

Les résultats de base sont démontrés : structure du groupe alterné An, célèbres théorèmes de Sylow, suite dérivée, suite centrale descendante en relation avec les groupes résolubles ou nilpotents ; la structure des groupes abéliens de type fini est complètement élucidée par des opérations élémentaires sur les lignes et colonnes d''une matrice.

Le dernier paragraphe, le plus riche et original, regroupe 75 exercices dont certains, faciles, permettent de se familiariser avec des groupes finis d''ordre "petit". D''autres exercices rencontrent des groupes célèbres provenant de la géométrie, de l''algèbre linéaire et de l''arithmétique, comme les groupes de polyèdres réguliers en dimension 3, les fameux groupes de Coxeter, le groupe fondamental d''une surface de Riemann, les célèbres théorèmes de Schur, Burnside et Jordan sur les sous-groupes finis de Gln(C)...

Les notions classiques sont abordées de façon élémentaire et rigoureuse : anneau, corps, homomorphisme, idéal, anneau quotient, idéal premier, idéal maximal, localisation, modules, algèbres, anneau de polynômes, anneau des séries formelles, modules et anneaux noethériens, anneau factoriel, extensions entières d''anneaux, extensions transcendantes de corps. Les résultats de base sont démontrés : propriétés de l''anneau principal, théorèmes de Galois, théorème de transfert aux anneaux de polynômes, théorème des zéros de Hilbert, critère d''Eisenstein, théorème de Luroth, propriétés des polynômes symétriques et du résultant.Chaque chapitre se termine par des exercices permettant d''aboutir à des résultats nouveaux : le petit théorème de Fermât, celui de Wilson, les nombres de Mersenne, de Fermât, les nombres parfaits, le théorème de Sturm, la règle des signes de Descartes, le théorème de d''Alembert-Gauss, l''indépendance des caractères (Artin), les extensions kummeriennes, les extensions d''Artin-Schreier, les quaternions de Hamilton, les nombres de Liouville, un théorème de Krull sur les anneaux noethériens, la topologie de Zariski, le corps des fonctions elliptiques, la sphère de Riemann, les algèbres géométriquement intègres, les algèbres réduites, un revêtement cyclique de la droite projective...Au total, 260 exercices qui font l''originalité de l''ouvrage.