Jurgen Poschel – författare
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Dieses Buch bietet eine schlanke und elegante Einführung in die Analysis einer reellen Variablen für Studierende der Mathematik ab dem ersten Semester. Das Wesentliche wird klar und mit möglichst einfacher Notation formuliert. Der Schwerpunkt liegt auf den Konzepten und Ideen, weniger auf Formeln und Rechenfertigkeit. Ausgehend von der axiomatischen Begründung der reellen Zahlen werden die zentralen Begriffe Grenzwert, Vollständigkeit und Stetigkeit diskutiert. Auf diesen bauen das Integral und das Differenzial auf. Zu jedem Kapitel gibt es zahlreiche Aufgaben, die auch teilweise weiterführende Ergebnisse entwickeln. Zur Kontrolle werden die vollständigen Lösungen auf der Website des Verlages unter „Zusätzliche Informationen“ zum Buch bereit gestellt.
Dieser Band findet seine Fortsetzung in den Bänden "Etwas mehr Analysis" und "Noch mehr Analysis".
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Dieser Band für Studierende der Mathematik ab dem zweiten Semester setzt den ersten Band »Etwas Analysis« fort und führt in die klassische mehrdimensionale Analysis ein. Wieder wird Wert auf eine klare Darstellung mit einer möglichst einfachen Notation gelegt, die Denkweisen der Analysis werden herausgearbeitet. Ausgehend von Kurven werden die mehrdimensionale Differenziation und Analysis entwickelt. Dies führt bis zum Begriff der eingebetteten Mannigfaltigkeit, dem natürlichen Ort der Theorie der Extrema mit Nebenbedingungen. Die gewöhnlichen Differenzialgleichungen nehmen einen breiten Raum ein und bieten gleichzeitig einen Einstieg in die Theorie der dynamischen Systeme. Zu jedem Kapitel gibt es zahlreiche Aufgaben, deren vollständige Lösungen auf der Website des Verlages unter „Zusätzliche Informationen“ bereit gestellt werden. Dieser Band findet seine Fortsetzung im dritten Band "Noch mehr Analysis".
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In this text the authors consider the Korteweg-de Vries (KdV) equation (ut = - uxxx + 6uux) with periodic boundary conditions. Derived to describe long surface waves in a narrow and shallow channel, this equation in fact models waves in homogeneous, weakly nonlinear and weakly dispersive media in general.
Viewing the KdV equation as an infinite dimensional, and in fact integrable Hamiltonian system, we first construct action-angle coordinates which turn out to be globally defined. They make evident that all solutions of the periodic KdV equation are periodic, quasi-periodic or almost-periodic in time. Also, their construction leads to some new results along the way.
Subsequently, these coordinates allow us to apply a general KAM theorem for a class of integrable Hamiltonian pde''s, proving that large families of periodic and quasi-periodic solutions persist under sufficiently small Hamiltonian perturbations.
The pertinent nondegeneracy conditions are verified by calculating the first few Birkhoff normal form terms -- an essentially elementary calculation.