Rudolf Taschner – författare

Drawing primarily from historical examples, this book explains the tremendous role that numbers and, in particular, mathematics play in all aspects of our civilization and culture. The lively style and illustrative examples will engage the reader who wants to understand the many ways in which mathematics enables science, technology, art, music, pol

Drawing primarily from historical examples, this book explains the tremendous role that numbers and, in particular, mathematics play in all aspects of our civilization and culture. The lively style and illustrative examples will engage the reader who wants to understand the many ways in which mathematics enables science, technology, art, music, pol

Drawing primarily from historical examples, this book explains the tremendous role that numbers and, in particular, mathematics play in all aspects of our civilization and culture. The lively style and illustrative examples will engage the reader who wants to understand the many ways in which mathematics enables science, technology, art, music, politics, and rational foundations of human thought. Each chapter focuses on the influence of mathematics in a specific field and on a specific historical figure, such as "Pythagoras: Numbers and Symbol"; "Bach: Numbers and Music"; "Descartes: Numbers and Space."

"Few mathematical structures have undergone as many revlSlons or have been presented in as many guises as the real numbers. Every generation re-examines the reals in the light of its values and mathematical objectives." This citation is said to be due to Gian-Carlo Rota, and in this book its correctness again is affirmed. Here I propose to investigate the structure of the mathematical continuum by undertaking a rather unconventional access to the real numbers: the intuitionistic one. The traces can be tracked back at least to L.E.J. Brouwer and to H. Weyl. Largely unknown photographies of Weyl in Switzerland after World War II provided by Peter Bettschart enliven the abstract text full of subtle definitions and sophisticated estimations. The book can be read by students who have undertaken the usual analysis courses and want to know more about the intrinsic details of the underlying concepts, and it can also be used by university teachers in lectures for advanced undergraduates and inseminaries for graduate students. I wish to thank Walter Lummerding and Gottfried Oehl who helped me with their impressive expert knowledge of the English language. I also take the opportunity to express my gratitude to Ulrike Schmickler-Hirzebruch and to the staff of Vieweg-Verlag for editing my manuscript just now, exactly 50 years after the death of Hermann Weyl, in their renowned publishing house. Vienna, 2005 Rudolf Taschner Contents 1 Introduction and historical remarks 1 1.1 F AREY fractions. .

"Few mathematical structures have undergone as many revlSlons or have been presented in as many guises as the real numbers. Every generation re-examines the reals in the light of its values and mathematical objectives." This citation is said to be due to Gian-Carlo Rota, and in this book its correctness again is affirmed. Here I propose to investigate the structure of the mathematical continuum by undertaking a rather unconventional access to the real numbers: the intuitionistic one. The traces can be tracked back at least to L.E.J. Brouwer and to H. Weyl. Largely unknown photographies of Weyl in Switzerland after World War II provided by Peter Bettschart enliven the abstract text full of subtle definitions and sophisticated estimations. The book can be read by students who have undertaken the usual analysis courses and want to know more about the intrinsic details of the underlying concepts, and it can also be used by university teachers in lectures for advanced undergraduates and inseminaries for graduate students. I wish to thank Walter Lummerding and Gottfried Oehl who helped me with their impressive expert knowledge of the English language. I also take the opportunity to express my gratitude to Ulrike Schmickler-Hirzebruch and to the staff of Vieweg-Verlag for editing my manuscript just now, exactly 50 years after the death of Hermann Weyl, in their renowned publishing house. Vienna, 2005 Rudolf Taschner Contents 1 Introduction and historical remarks 1 1.1 F AREY fractions. .

I Das griechische Wort »logos« bedeutet nicht nur »Wort« und »Vernunft«, es bedeutet ursprünglich »Verhältnis« - insbesondere ist das Verhältnis zweier Zahlen zueinander ein »logos« (ähnliches gilt für das lateinische Wort »ratio«). 2 Diese >Vermutung« ist durch kein einziges historisches Zeugnis gedeckt - im Gegenteil: der historische Pythagoras war sicher eher »Ontologe«, also Er­ gründer des Seins, als »Hermeneutiker«, also Ergründer des Verstehens. Da wir aber fast nichts von ihnen wissen, gestatten wir uns, Pythagoras oder Thales zu Idealfiguren zu formen, die der Intention dessen, was wir hier hervorheben wol­ len, angepasst sind. 3 Die Vorstellung, die geraden Zahlen seien »böse« und die ungeraden »gut« spielt bei der folgendermaßen erklärten Methode des Multiplizierens eine we­ sentliche Rolle: Angenommen, die beiden Zahlen 75 und 57 seien zu multipli­ zieren. Man muss dazu nur das Addieren, das Halbieren und das Verdoppeln beherrschen. Denn in den beiden Kolonnen 75 57 37 114 +8 m 9 456 4 9H :2: ~ 3648 wird in der linken der erste Faktor 75 systematisch halbiert (wobei die verblei­ benden Reste keine Rolle spielen) und in der rechten der zweite Faktor 57 syste­ matisch verdoppelt. Danach hält man sich vor Augen, dass »die geraden Zahlen böse« seien, man streicht dementsprechend alle Zeilen, bei denen in der linken Kolonne eine gerade Zahl steht und addiert alle verbleibenden, nicht gestriche­ nen Zahlen der rechten Kolonne. Die Summe 57 + 114 + 456 + 3648 = 4275 nennt das gesuchte Produkt 75 . 57.

Philosophen und Theologen haben über das Unendliche nachgedacht. Doch die wahre Wissenschaft vom Unendlichen ist die Mathematik.Rudolf Taschner gelingt es, diesen zentralen Begriff auch dem mathematischen Laien zu vermitteln. Auf anschauliche Weise beschreibt er, wie bereits Pythagoras, Archimedes und Euklid versucht haben, das Unendliche zu fassen. Er macht uns mit Newton und Leibniz bekannt, die entdeckten, dass das Phänomen von Bewegung und Wandel nur durch die Erforschung des Unendlichen verständlich wird. Mit Spannung kann der Leser den dramatischen Streit zwischen den unterschiedlichen Positionen von Cantor, Hilbert und Brouwer verfolgen - ein Streit, der nach den Erkenntnissen Gödels unentschiedener ist denn je.

In the English edition, the chapter on the Geometry of Numbers has been enlarged to include the important findings of H. Lenstraj furthermore, tried and tested examples and exercises have been included. The translator, Prof. Charles Thomas, has solved the difficult problem of the German text into English in an admirable way. He deserves transferring our 'Unreserved praise and special thailks. Finally, we would like to express our gratitude to Springer-Verlag, for their commitment to the publication of this English edition, and for the special care taken in its production. Vienna, March 1991 E. Hlawka J. SchoiBengeier R. Taschner Preface to the German Edition We have set ourselves two aims with the present book on number theory. On the one hand for a reader who has studied elementary number theory, and who has knowledge of analytic geometry, differential and integral calculus, together with the elements of complex variable theory, we wish to introduce basic results from the areas of the geometry of numbers, diophantine ap­ proximation, prime number theory, and the asymptotic calculation of number theoretic functions. However on the other hand for the student who has al­ ready studied analytic number theory, we also present results and principles of proof, which until now have barely if at all appeared in text books.

In the English edition, the chapter on the Geometry of Numbers has been enlarged to include the important findings of H. Lenstraj furthermore, tried and tested examples and exercises have been included. The translator, Prof. Charles Thomas, has solved the difficult problem of the German text into English in an admirable way. He deserves transferring our ''Unreserved praise and special thailks. Finally, we would like to express our gratitude to Springer-Verlag, for their commitment to the publication of this English edition, and for the special care taken in its production. Vienna, March 1991 E. Hlawka J. SchoiBengeier R. Taschner Preface to the German Edition We have set ourselves two aims with the present book on number theory. On the one hand for a reader who has studied elementary number theory, and who has knowledge of analytic geometry, differential and integral calculus, together with the elements of complex variable theory, we wish to introduce basic results from the areas of the geometry of numbers, diophantine ap­ proximation, prime number theory, and the asymptotic calculation of number theoretic functions. However on the other hand for the student who has al­ ready studied analytic number theory, we also present results and principles of proof, which until now have barely if at all appeared in text books.

Wie sehr Zahlen die vielfältigen Aspekte des Daseins durchdringen, ist wenig bekannt, und kaum jemand scheint bisher ermessen zu haben, wie unfassbar weit der Zahlen lange Schatten reichen. Das Buch spürt diesen Schatten nach und gelangt unversehens zu überraschenden Einsichten. Nicht was die Zahlen sind, wird hier erzählt, sondern was sie bedeuten.In der vorliegenden Neuauflage des Buches wurden zwei weitere Kapitel aufgenommen, die das weite Themenfeld ergänzen und abrunden: In ihnen wird erzählt, wie einerseits der eminenteste Philosoph des 20. Jahrhunderts darum rang, Sprache und Zahlen, Intuition und Regelwerk zueinander in Beziehung zu setzen, und wie es andererseits einem stillen französischen Gelehrten gelang, den Zahlen selbst ihre Geheimnisse zu entlocken. So treten zu den ursprünglichen acht Protagonisten Bach, Bohr, Descartes, Hofmannsthal, Laplace, Leibniz, Pascal, Pythagoras noch Fermat und Wittgenstein als neunter und zehnter hinzu, wodurch das Buch einen guten Abschluss erfährt, da nach Pythagoras die Zahl zehn jene der Vollkommenheit ist.

Wie sehr Zahlen die vielfältigen Aspekte des Daseins durchdringen, ist wenig bekannt, und kaum jemand scheint bisher ermessen zu haben, wie unfassbar weit der Zahlen lange Schatten reichen. Das Buch spürt diesen Schatten nach und gelangt unversehens zu überraschenden Einsichten. Nicht was die Zahlen sind, wird hier erzählt, sondern was sie bedeuten.In der vorliegenden Neuauflage des Buches wurden zwei weitere Kapitel aufgenommen, die das weite Themenfeld ergänzen und abrunden: In ihnen wird erzählt, wie einerseits der eminenteste Philosoph des 20. Jahrhunderts darum rang, Sprache und Zahlen, Intuition und Regelwerk zueinander in Beziehung zu setzen, und wie es andererseits einem stillen französischen Gelehrten gelang, den Zahlen selbst ihre Geheimnisse zu entlocken. So treten zu den ursprünglichen acht Protagonisten Bach, Bohr, Descartes, Hofmannsthal, Laplace, Leibniz, Pascal, Pythagoras noch Fermat und Wittgenstein als neunter und zehnter hinzu, wodurch das Buch einen guten Abschluss erfährt, da nach Pythagoras die Zahl zehn jene der Vollkommenheit ist.

Konstruktive Analysis wird in diesem Buch mit anschaulichen Graphiken und bestechenden Beispielen so vorgestellt, dass sie bereits mit elementaren Schulkenntnissen als Voraussetzung verstanden wird. Sie stellt eine höchst attraktive Alternative zur konventionellen, auf den willkürlich gesetzten Axiomen der Mengentheorie fußenden formalen Mathematik dar. Und sie führt zu spektakulären Einsichten über Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit, über gleichmäßige Konvergenz und über die Vertauschung von Limes und Integral, die der konventionellen Mathematik gänzlich verwehrt sind.

Philosophen und Theologen haben über das Unendliche nachgedacht. Doch die wahre Wissenschaft vom Unendlichen ist die Mathematik.Rudolf Taschner gelingt es, diesen zentralen Begriff auch dem mathematischen Laien zu vermitteln. Auf anschauliche Weise beschreibt er, wie bereits Pythagoras, Archimedes und Euklid versucht haben, das Unendliche zu fassen. Er macht uns mit Newton und Leibniz bekannt, die entdeckten, daß das Phänomen von Bewegung und Wandel nur durch die Erforschung des Unendlichen verständlich wird. Mit Spannung kann der Leser den dramatischen Streit zwischen den unterschiedlichen Positionen von Cantor, Hilbert und Brouwer verfolgen - ein Streit, der nach den Erkenntnissen Gödels unentschiedener ist denn je.

Philosophen und Theologen haben über das Unendliche nachgedacht. Doch die wahre Wissenschaft vom Unendlichen ist die Mathematik.Rudolf Taschner gelingt es, diesen zentralen Begriff auch dem mathematischen Laien zu vermitteln. Auf anschauliche Weise beschreibt er, wie bereits Pythagoras, Archimedes und Euklid versucht haben, das Unendliche zu fassen. Er macht uns mit Newton und Leibniz bekannt, die entdeckten, dass das Phänomen von Bewegung und Wandel nur durch die Erforschung des Unendlichen verständlich wird. Mit Spannung kann der Leser den dramatischen Streit zwischen den unterschiedlichen Positionen von Cantor, Hilbert und Brouwer verfolgen - ein Streit, der nach den Erkenntnissen Gödels unentschiedener ist denn je.

Philosophen und Theologen haben über das Unendliche nachgedacht. Doch die wahre Wissenschaft vom Unendlichen ist die Mathematik.Rudolf Taschner gelingt es, diesen zentralen Begriff auch dem mathematischen Laien zu vermitteln. Auf anschauliche Weise beschreibt er, wie bereits Pythagoras, Archimedes und Euklid versucht haben, das Unendliche zu fassen. Er macht uns mit Newton und Leibniz bekannt, die entdeckten, dass das Phänomen von Bewegung und Wandel nur durch die Erforschung des Unendlichen verständlich wird. Mit Spannung kann der Leser den dramatischen Streit zwischen den unterschiedlichen Positionen von Cantor, Hilbert und Brouwer verfolgen - ein Streit, der nach den Erkenntnissen Gödels unentschiedener ist denn je.

Im durchgetakteten Alltag der angeblich modernen Zeit bleibt für Grundsätzliches kaum Raum. Gleichzeitig sehnen sich viele nach einem Moment des Innehaltens, um sich der Tiefe des Daseins wieder bewusst zu werden. In diesen selten gewordenen Augenblicken stellen sich Fragen, die im Alltagsrauschen allzu gern beiseite gewischt werden: Was sind die Angelpunkte unserer Existenz? Woran kann man noch glauben? In früheren Generationen hat die Religion, in die man hineingeboren wurde, die Antwort vorweggenommen. Jetzt ist es nicht mehr so einfach wie einst. Der Mathematiker und Naturwissenschaftler Rudolf Taschner macht in diesem Buch zehn Angebote, er erzählt, woran heute noch geglaubt werden kann, was Menschen Halt gibt und woran es sich für den Einzelnen festzuhalten lohnt: an der Liebe etwa, der Logik oder an der Natur. Leichtfüßig und kenntnisreich entführt uns Taschner in philosophische Gefilde, frei von Dogmatik und festen Glaubenssätzen lädt er ein, sich die Antwort auf die titelgebende Frage wieder zuzutrauen.

Alle nicken wir zustimmend, wenn es heißt, Mathematik sei der Schlüssel, der das Tor zur modernen Welt öffnet. Aber viele wollen den Schlüssel nicht berühren, sich lieber unmündig von anderen das Tor öffnen lassen. Denn sie kennen Mathematik nur als unerquickliches Schulfach. Doch das Gegenteil stimmt. Man muss Mathematik nur richtig erfahren. Dann versteht man, was Mathematik für das Leben bedeutet. Dann bereitet die Beschäftigung mit ihr Freude und Vergnügen. Dann vermehrt Mathematik Wissen und bereichert die Persönlichkeit. Behauptungen, die Rudolf Taschner an unzähligen Beispielen beweist und mit handfesten Anleitungen für einen guten Mathematikunterricht verbindet. Einiges am herkömmlichen Schulalltag muss sich ändern. Dann wirkt Mathematik für die Schule wie ein bekömmlicher Muntermacher: Wird sie gut unterrichtet, leben alle in der Schule auf.

Was ist denn schon gerecht? Der Ort unserer Geburt? Unsere Herkunft? Unsere Gene, die scheinbar Schicksal spielen? Der Zufall, der uns vor einem Unglück bewahrt, oder uns über Nacht zum Millionär werden lässt? Sind wir nicht alle gleich? Gerechtigkeit gibt es nicht!, rufen die traurigen, hoffnungslosen Realisten. Es ist eine wunderschöne Illusion, die uns hoffen und schaffen lässt, die anderen. Rudolf Taschner wird Ihnen keinen Schiedsspruch über Gerechtigkeit liefern, er wird keinen Freibrief für Vorurteile ausstellen, kein Machtwort über Geld, Gesetz, Geschichte und Gewissen sprechen. Aber er wird Sie fühlen lassen, dass Ihr Glück nicht davon abhängt, wie groß Ihr Stück vom Kuchen ist.

Der blinde Zufall scheint unser Geschick zu leiten - aber was ist Zufall? Wir glauben uns dem Diktat der Zeit unterworfen - aber was ist Zeit? Nur was man mit Zahlen belegen kann, zählt - aber woher kommen die Zahlen? Rudolf Taschner nähert sich solch tiefgründigen Fragen mit heiterer Gelassenheit, verständlich und unterhaltsam zugleich. Unterstützt von anschaulichen Bildern, Geschichten und subtilen Anekdoten verführt er uns zu mathematischen Seitensprüngen, aber auch zur Einsicht: Immer, wenn man Zeit oder Zufall zu fassen vermeint, verflüchtigen sich beide blitzschnell ins unendliche Reich der Zahlen. Zahl, Zeit und Zufall sind untrennbar ineinander verwoben, und das Geflecht, das sie zusammenhält, ist nicht irgendwo "draußen", "im Universum", sondern in uns selbst, in unserem Denken und in unserem Bewusstsein.

Es geht um alles. Es geht um den Fußball und um die Religion, um das Licht und um den Klang, um den Himmel und die Schöpfung, um die Wirtschaft und die Moral, um das Leben und um die Kunst. Die Achse, um die sich all das dreht, ist die Mathematik. Behauptet jedenfalls Rudolf Taschner, der als mitreißender wie inspirierender Mathematiker in diesem Buch nicht von seiner Wissenschaft selbst berichtet, sondern aus mathematischer Sicht staunend auf die Welt blickt. Und alle Leserinnen und Leser zum gleichen Staunen verführen möchte.

Znanie matematiki priobretaet osoboe znachenie v nashu cifrovuyu ehpohu. Rasskazyvaya o proshlom, nastoyashchem i budushchem matematicheskoj mysli i o pervootkryvatelyah vazhnejshih matematicheskih zakonov, izvestnyj avstrijskij uchenyj i populyarizator nauki Rudol''f Tashner posvyashchaet nas ne tol''ko v tajny cifr i chisel, no i shire – v tajny poznaniya."Iz velikogo mnozhestva istorij o yakoby bezmernoj vlasti chisel ya otdal predpochtenie tem, v kotoryh provoditsya ideya o tom, chto chisla ne prosto okazalis'' u lyudej pod rukoj. CHisla byli izobreteny dlya togo, chtoby uporyadochit'' mir i sdelat'' ego obozrimym. CHisla – nashi slugi, a otnyud'' ne gospoda. CHisla – ne fundament bytiya, no udobnye oboznacheniya, oblegchayushchie ponimanie mira".Rudol''f Tashner