Teubner-Archiv zur Mathematik – serie

Der vorliegende zweite Band der Reihe „TEUBNER-Archiv zurMathematik enthält fotomechanische Nachdrucke der grundlegenden Arbeiten GeorgCANTORS zur Mengenlehre aus den Jahren 1872 bis 1884. Er umfasst all jenePublikationen CANTORS, durch die er – nach einer heute allgemein akzeptiertenAuffassung – zum Begründer der Mengenlehre und der mengentheoretischenTopologie wurde, und will damit diese für die Herausbildung der heutigenMathematik so fundamentalen Arbeiten einem breiten Leserkreis im Originalleicht zugänglich machen. Die Arbeit „Über die Ausdehnung eines Satzes aus derTheorie der trigonometrischen Reihen“ aus dem Band 5 der MathematischenAnnalen, die an frühere Publikationen CANTORS über trigonometrische Reihenanknüpft und durch die deutlich wird, dass es zunächst konkrete analytischeProbleme waren, die CANTOR auf die Betrachtung mengentheoretischer Begriffeführten. Sie enthält einerseits die heute allgemein mit seinem Namen verknüpfteErweiterung des Bereichs der rationalen zahlen zum Bereich der reellen Zahlenmittels Fundamentalfolgen und das nach ihm benannte Stetigkeitsaxiom.Andererseits wird in ihr der Begriff der ersten Ableitung P` einer (linearen)Punktmenge P eingeführt, der heute einer der grundlegenden Begriffe dermengentheoretischen Topologie ist und der in den späteren Publikationen CANTORSbei der Herausbildung der allgemeinen Mengenlehre eine wesentliche Rollespielte und ihn insbesondere zu den transfiniten Ordinalzahlenführte.

Das Halten einer Antrittsvorlesung gehörte zu den bewährten Traditionen der deutschen Universitäten. Diese Reden spiegelten in der Regel die Ansichten des Neuberufenen zu allgemeinen Fragen seiner Wissenschaft wider, nicht selten auch programmatische Vorstellungen über das zukünftige Wirken. Sie waren so gehalten, daß sie einem breiten Publikum verständlich blieben. Die vorliegende Sammlung Leipziger mathematischer Antrittsvorlesungen der Jahre 1869 bis 1922 enthält fotomechanische Nachdrucke der entsprechenden Reden von Carl Neumann, Felix Klein, Sophus Lie, Friedrich Engel, Felix Hausdorff, Heinrich Liebmann, Wilhelm Blaschke und Leon Lichtenstein. Das Buch wird ergänzt durch kurze Biographien dieser Gelehrten sowie durch einige aufschlußreiche, teilweise noch unveröffentlichte Archivalien.

Dieser Band enthält die Vorlesung Ausgewählte Kapitel aus der Funktionenlehre, die Karl Weierstraß im Sommersemester 1886 an der Berliner Universität gehalten hat. Sie war von ihm als Ergänzung seiner turnusmäßigen Vorlesung "Einleitung in die Theorie der analytischen Funktionen" konzipiert worden, und er hielt sie nur dieses eine Mal. Inhaltliche Schwerpunkte sind der Weierstraßsche Approximationssatz (mit Verallgemeinerungen auf unstetige Funktionen mittels des Cantorschen Begriffs des äußeren Inhalts einer beschränkten Punktmenge) und eine Einführung in die Theorie der Weierstraßschen "analytischen Gebilde". Der editierte Text, dem eine Autobiographie zugrunde liegt, enthält zahlreiche historische und methodologische Reflexionen. Die Vorlesung, der Kommentar des Herausgebers sowie die vier im Anhang enthaltenen fotomechanischen Nachdrucke von Arbeiten der Jahre 1857 bis 1880 verdeutlichen in besonderem Maße Weierstraß' Beitrag zur strengen Begründung der Analysis.

Mit den hier abgedruckten klassischen biographischen Texten der Autoren Dirichlet, Kummer, Hensel, Frobenius und Hilbert werden dem Leser Einblicke in Leben und Werk herausragender Wissenschaftler eröffnet. Außerdem erhält er authentische Informationen über den Wissenschaftsbereich des 19. Jahrhunderts. Fotos und bisher unveröffentlichte Archivalien komplettieren diesen von H. Reichardt, dem langjährigen Direktor an den Mathematischen Instituten der Humboldt-Universität Berlin sowie der Akademie der Wissenschaften, herausgegebenen Band.

Dieses dem 125. Geburtstag H. Minkowskis gewidmete Buch enthält neben fotomechanischen Nachdrucken seiner wichtigsten Arbeiten Fotos und einige Briefe. Beigefügt ist auch D. Hilberts Gedächtnisrede, die den Menschen H. Minkowski in gleicher Weise würdigt wie sein wissenschaftliches Werk. Im Anhang finden sich aktuelle Anmerkungen zu den Arbeiten, zu ihren Beziehungen untereinander und zu Weiterentwicklungen der Theorien. Ein umfangreiches Literaturverzeichnis soll dem interessierten Leser Hilfe zur weiteren Orientierung sein. "Seit meiner ersten Studienzeit war mir Minkowski der beste und zuverlässigste Freund, der an mir hing mit der ganzen ihm eigenen Tiefe und Treue. Unsere Wissenschaft, die uns das liebste war, hatte uns zusammengeführt; sie erschien uns wie ein blühender Garten ... Gern suchten wir aber auch verborgene Pfade auf und entdeckten manche neue, uns schön dünkende Aussicht, und wenn der eine dem andern sie zeigte, und wir sie gemeinsam bewunderten, war unsere Freude vollkommen." David Hilbert#1

Dieser Band enthält fotomechanische Nachdrucke klassischer Arbeiten von Giuseppe Peano zur Analysis und zur mathematischen Logik aus den Jahren 1886 bis 1899, denen für die Herausbildung der gegenwärtigen Mathematik große Bedeutung zukommt. Im Nachwort berichtet der Herausgeber über die Entstehungsgeschichte der abgedruckten Arbeiten, über deren Stellung im Gesamtwerk Peanos und über ihre Verflechtung mit der Entwicklung der Mathematik um die Jahrhundertwende. Fotos und Archivalien komplettieren das Buch. Aus den Besprechungen: "Die mathematische Behandlung der Grundlagen der Mathematik ... ist aus der Verbindung zweier verschiedener Forschungsrichtungen ... hervorgegangen. Einerseits das Werk der Meister der Analysis und der Geometrie, sofern sie ihre Axiome formulierten und systematisierten, und das Werk von Cantor und anderen über Gebiete wie die Mengentheorie. Andererseits die symbolische Logik, die nach der notwendigen Entwicklungsperiode jetzt dank Peano und seinen Nachfolgern die technische Verwendbarkeit und logische Bündigkeit erreicht hat, die wesentlich sind für ein mathematisches Hilfsmittel zur Behandlung dessen, was bisher die Grundlagen der Mathematik gebildet hat." A.N. Whitehead, B. Russell#1

Briefe zwischen Gelehrten sind eine aufschlußreiche Quelle, um Hintergründe, Zusammenhänge und Motive wissenschaftlicher Arbeit aufzudecken. Der vorliegende Band enthält eine Auswahl aus der Korrespondenz zwischen den Mathematikern Felix Klein und Adolph Mayer. Wichtigster Gegenstand ihres gemeinsamen Interesses war die Herausgabe der "Mathematischen Annalen", die sich unter ihrer Leitung seit 1875 zu einer der bedeutendsten Fachzeitschriften entwickelten. Die Korrespondenz ermöglicht einen Einblick in wesentliche Bereiche der mathematischen Forschung jener Zeit. Diese Briefe, die hier zum ersten Male gedruckt vorliegen, werden durch eine ausführliche Einleitung sowie durch Fotos und zahlreiche Anmerkungen ergänzt.

Dieser Band des "TEUBNER-ARCHIVs zur Mathematik" enthält klassische ma­ thematische Arbeiten, welche im Zeitraum von 1911 bis 1935 von GusTAV HER­ GLOTZ, ISSAI SCHUR, GEORG PICK, ROLF NEVANLINNA und HERMANN WEYL verfaßt wurden und aus heutiger Sicht die Ursprünge einer mathematischen Richtung mar­ kieren, welche sich in den 80er Jahren an der Nahtstelle verschiedener mathemati­ scher Disziplinen herausbildete und nun unter der Bezeichnung "Schur-Analysis" Eingang in die mathematische Literatur gefunden hat. Hervorstechendes Merkmal der Schur-Analysis ist ihr algorithmischer Charakter, der bereits in IssAI ScHURS grundlegender Arbeit "Über Potenzreihen, die im In­ nem des Einheitskreises beschränkt sind", welche 1917 und 1918 in zwei Teilen im "Journal für die reine und angewandte Mathematik" veröffentlicht wurde, prägnant zum Ausdruck kommt. Der dort kreierte tiefsinnige Algorithmus, welcher heute nun unter dem Terminus "Schur-Algorithmus" gefaßt wird, beinhaltet alle haupt­ sächlichen Wesenszüge der Methode und trug wesentlich dazu bei, daß für diese die Begriffsbildung "Schur-Analysis" gewählt wurde. Es ist deshalb nur folgerichtig, daß die oben genannte Arbeit IssAI ScHuRs eine zentrale Stellung einnimmt.

In diesem Monat feiern wir den 150. Geburtstag von SOPHUS LIE, einem der größten Mathematiker des vorigen Jahrhunderts. Es ist daher sehr zu begrüßen, daß der Teubner­ Verlag, einer langen Traditionslinie bei der Veröffentlichung von LIES Werken folgend, in seine Reihe "TEUBNER-ARCHIV zur Mathematik" Arbeiten von SOPHUS LIE und seinen Zeitgenossen EDuARD STUDY und FRIEDRICH ENGEL aufgenommen hat. Ausgewählt wurden Beiträge zur Theorie der Differentialinvarianten. Zum einen ist dies ein Gebiet, auf dem alle drei tätig gewesen sind und das als Ausgangspunkt großer Liescher Ideen zur Anwendung gruppentheoretischer Methoden in der Analysis betrachtet werden kann, obwohl es nur einen Ausschnitt aus LIES Schaffen darstellt. Zum anderen vermitteln die hier vorgestellten Arbeiten durch ihren kritischen Stil und durch den Streit um unterschied­ liche mathematische Auffassungen interessante Einblicke in das mathematische Geschehen jener Zeit. Neben der Würdigung dieser drei namhaften Mathematiker stellt der vorliegende Band den Ursprung der Lieschen Theorie, ihre weitere Entwicklung und spätere Ausprägung dar. Wir danken dem Teubner-Verlag und insbesondere Herrn J. WEISS für das freundliche Entgegenkommen und die gute Zusammenarbeit. Greifswald und Leipzig, Dezember 1992 GÜNTER CZICHOWSKI BERND FRITZSCHE SOPHUS LIE Ölgemälde von ERIK THEODOR WERENSKIOLD aus dem Jahre 1902; im Besitz der Universität Oslo (Katalognummer 818) Inhalt S. Lie: Über Gruppen von Transformationen, 1874. (Gesammelte Abhandlungen, Bd. 5 (1924),1-8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 S. Lie: Über Differentialinvarianten, 1884. (Gesammelte Abhandlungen, Bd. 6 (1927), 95-l38) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 . . . . . . . S.Lie: Über die Gruppe der Bewegungen und ihre Differentialinvarianten, 1893. (Gesammelte Abhandlungen, Bd. 6 (1927), 376-383) . . . . . . . . . . . . . . .