Meine Zahlentheorievorlesung des vergangenen Wintersemesters, deren Niederschrift ich hiermit dem mathematischen Publikum unter­ breite, hatte zwei Ziele. Das erste war, die Rechenfertigkeit meiner Hörer zu verbessern. Dabei meine ich mit Rechenfertigkeit nicht etwa Rechenschnelligkeit, die im Rechenunterricht der Schule, wie ich. wiederum durch meine Kinder weiß, allzusehr in den Vordergrund gerückt wird. Rechenfertigkeit sollte zu allererst Rechensicherheit mit sich bringen, denn Schnelligkeit bedeutet gar nichts, wenn das Ergeb­ nis falsch ist. Man sollte sich also Zeit lassen beim Rechnen. Man sollte sich Rechenaufgaben erst einmal ansehen, bevor man anfängt zu rechnen. Denn Zahlen sind Individuen, und ein geschickter Rechner wird ihre individuellen Eigenschaften bei der Rechnung nutzen. Re­ chenfertigkeit heißt also auch, daß man Rechenvorteile erkennt und nutzt. Das fängt schon damit an, daß man den Malpunkt zwischen zwei Zahlen nicht als zwingenden Befehl auffaßt, die Multiplikation auch wirklich auszuführen. (Wer glaubt, so etwas brauche man nicht zu erwähnen, der beobachte einmal, wie viele überflüssige Rechnungen Kinder machen, wenn sie Brüche addieren, multiplizieren oder der Größe nach vergleichen. ) Solcherlei predige ich immer wieder meinen Kindern, und solcherlei wollte ich auch den Hörern meiner Vorlesung nahebringen. Hierzu gehört natürlich auch zu zeigen, wie man Sätze der Zahlentheorie benutzen kann, um zu numerischen Resultaten zu kommen. Daß dies möglich ist, ist schließlich nicht verwunderlich, entstand doch ein großer Teil der Zahlentheorie aus den Bedürfnissen der Rechenpraxis; man denke etwa an Euler, der z. B.

Was Kombinatorik ist, weiß so recht niemand zu sagen, wie die vielen Beschreibungsversuche zeigen. Daß der Inhalt dieses Bänd­ chens Kombinatorik ist, wird der Leser jedoch nicht abstreiten. Da ich soweit mit dem Leser einig bin, brauche ich mich nicht weiter mit dem Erklären dessen, was Kombinatorik ist, abzumühen. Im übrigen kenne ich auch kein Algebra- oder Analysisbuch, in dessen Vorwort der Autor erklärt, was Algebra bzw. Analysis eigentlich ist. Ich befinde mich da also in guter Gesellschaft. Was den Inhalt dieses Bändchens betrifft, so ist auch klar, daß nur ein geringer Bruchteil der Kombinatorik auf den folgenden Sei­ ten aufgeschrieben steht. Bei der Auswahl der Themen habe ich mich von meinen geometrischen und algebraischen Interessen und meinem Geschmack leiten lassen, so daß manches in diesem Büchlein steht, was man sonst meist nicht in Konibinatorikbüchern findet, wie z. B. die Sylow''schen Sätze und den Existenz-und Eindeutigkeitssatz für end­ liche Körper, das Rado''sche Auswahlprinzip und die Sätze, die sich daran anschließen, sowie die Hadamard''sche Determinantenabschätzung~ die zwar nicht zur Kombinatorik gehört, aber unmittelbar zu kom­ binatorischen Problemen hinführt, die nach wie vor nicht vollständig gelöst sind. Aber auch bei der hier getroffenen Auswahl mußte ich mich noch beschränken, um den Umfang des Büchleins nicht über Gebühr anschwellen zu lassen. Der Leser, der weitere Informationen wünscht, sei auf das Literaturverzeichnis am Ende dieses Bändchens verwiesen.

Wir unterhielten uns einmal dariiber, daB man sich in einer fremden Sprache nur unfrei ausdriicken kann und im Zweifelsfall lieber das sagt, was man richtig und einwandfrei zu sagen hofft, als das, was man eigentlich sagen will. Molnar nickte bestatigend: "Es ist sehr traurig", resiimierte er. "Ich habe oft mitten im Satz meine Weltanschauung andem miissen ..." Friedrich Torberg, Die Tante Jolesch The last two decades have witnessed great progress in the theory of translation planes. Being interested in, and having worked a little on this subject, I felt the need to clarify for myself what had been happening in this area of mathematics. Thus I lectured about it for several semesters and, at the same time, I wrote what is now this book. It is my very personal view of the story, which means that I selected mainly those topics I had touched upon in my own investigations. Thus finite translation planes are the main the~ of the book. Infinite translation planes, however, are not completely disregarded. As all theory aims at the mastering of the examples, these play a central role in this book. I believe that this fact will be welcomed by many people.However, it is not a beginner's book of geometry. It presupposes consider- able knowledge of projective planes and algebra, especially group theory. The books by Gorenstein, Hughes and Piper, Huppert, Passman, and Pickert mentioned in the bibliography will help to fill any gaps the reader may have.

Was Kombinatorik ist, weiß so recht niemand zu sagen, wie die vielen Beschreibungsversuche zeigen. Daß der Inhalt dieses Bänd­ chens Kombinatorik ist, wird der Leser jedoch nicht abstreiten. Da ich soweit mit dem Leser einig bin, brauche ich mich nicht weiter mit dem Erklären dessen, was Kombinatorik ist, abzumühen. Im übrigen kenne ich auch kein Algebra- oder Analysisbuch, in dessen Vorwort der Autor erklärt, was Algebra bzw. Analysis eigentlich ist. Ich befinde mich da also in guter Gesellschaft. Was den Inhalt dieses Bändchens betrifft, so ist auch klar, daß nur ein geringer Bruchteil der Kombinatorik auf den folgenden Sei­ ten aufgeschrieben steht. Bei der Auswahl der Themen habe ich mich von meinen geometrischen und algebraischen Interessen und meinem Geschmack leiten lassen, so daß manches in diesem Büchlein steht, was man sonst meist nicht in Konibinatorikbüchern findet, wie z. B. die Sylow'schen Sätze und den Existenz-und Eindeutigkeitssatz für end­ liche Körper, das Rado'sche Auswahlprinzip und die Sätze, die sich daran anschließen, sowie die Hadamard'sche Determinantenabschätzung~ die zwar nicht zur Kombinatorik gehört, aber unmittelbar zu kom­ binatorischen Problemen hinführt, die nach wie vor nicht vollständig gelöst sind. Aber auch bei der hier getroffenen Auswahl mußte ich mich noch beschränken, um den Umfang des Büchleins nicht über Gebühr anschwellen zu lassen. Der Leser, der weitere Informationen wünscht, sei auf das Literaturverzeichnis am Ende dieses Bändchens verwiesen.

Meine Zahlentheorievorlesung des vergangenen Wintersemesters, deren Niederschrift ich hiermit dem mathematischen Publikum unter­ breite, hatte zwei Ziele. Das erste war, die Rechenfertigkeit meiner Hörer zu verbessern. Dabei meine ich mit Rechenfertigkeit nicht etwa Rechenschnelligkeit, die im Rechenunterricht der Schule, wie ich. wiederum durch meine Kinder weiß, allzusehr in den Vordergrund gerückt wird. Rechenfertigkeit sollte zu allererst Rechensicherheit mit sich bringen, denn Schnelligkeit bedeutet gar nichts, wenn das Ergeb­ nis falsch ist. Man sollte sich also Zeit lassen beim Rechnen. Man sollte sich Rechenaufgaben erst einmal ansehen, bevor man anfängt zu rechnen. Denn Zahlen sind Individuen, und ein geschickter Rechner wird ihre individuellen Eigenschaften bei der Rechnung nutzen. Re­ chenfertigkeit heißt also auch, daß man Rechenvorteile erkennt und nutzt. Das fängt schon damit an, daß man den Malpunkt zwischen zwei Zahlen nicht als zwingenden Befehl auffaßt, die Multiplikation auch wirklich auszuführen. (Wer glaubt, so etwas brauche man nicht zu erwähnen, der beobachte einmal, wie viele überflüssige Rechnungen Kinder machen, wenn sie Brüche addieren, multiplizieren oder der Größe nach vergleichen. ) Solcherlei predige ich immer wieder meinen Kindern, und solcherlei wollte ich auch den Hörern meiner Vorlesung nahebringen. Hierzu gehört natürlich auch zu zeigen, wie man Sätze der Zahlentheorie benutzen kann, um zu numerischen Resultaten zu kommen. Daß dies möglich ist, ist schließlich nicht verwunderlich, entstand doch ein großer Teil der Zahlentheorie aus den Bedürfnissen der Rechenpraxis; man denke etwa an Euler, der z. B.

Was Kombinatorik ist, weiß so recht niemand zu sagen, wie die vielen Beschreibungsversuche zeigen. Daß der Inhalt dieses Bänd­ chens Kombinatorik ist, wird der Leser jedoch nicht abstreiten. Da ich soweit mit dem Leser einig bin, brauche ich mich nicht weiter mit dem Erklären dessen, was Kombinatorik ist, abzumühen. Im übrigen kenne ich auch kein Algebra- oder Analysisbuch, in dessen Vorwort der Autor erklärt, was Algebra bzw. Analysis eigentlich ist. Ich befinde mich da also in guter Gesellschaft. Was den Inhalt dieses Bändchens betrifft, so ist auch klar, daß nur ein geringer Bruchteil der Kombinatorik auf den folgenden Sei­ ten aufgeschrieben steht. Bei der Auswahl der Themen habe ich mich von meinen geometrischen und algebraischen Interessen und meinem Geschmack leiten lassen, so daß manches in diesem Büchlein steht, was man sonst meist nicht in Konibinatorikbüchern findet, wie z. B. die Sylow''schen Sätze und den Existenz-und Eindeutigkeitssatz für end­ liche Körper, das Rado''sche Auswahlprinzip und die Sätze, die sich daran anschließen, sowie die Hadamard''sche Determinantenabschätzung~ die zwar nicht zur Kombinatorik gehört, aber unmittelbar zu kom­ binatorischen Problemen hinführt, die nach wie vor nicht vollständig gelöst sind. Aber auch bei der hier getroffenen Auswahl mußte ich mich noch beschränken, um den Umfang des Büchleins nicht über Gebühr anschwellen zu lassen. Der Leser, der weitere Informationen wünscht, sei auf das Literaturverzeichnis am Ende dieses Bändchens verwiesen.

Wir unterhielten uns einmal dariiber, daB man sich in einer fremden Sprache nur unfrei ausdriicken kann und im Zweifelsfall lieber das sagt, was man richtig und einwandfrei zu sagen hofft, als das, was man eigentlich sagen will. Molnar nickte bestatigend: "Es ist sehr traurig", resiimierte er. "Ich habe oft mitten im Satz meine Weltanschauung andem miissen ..." Friedrich Torberg, Die Tante Jolesch The last two decades have witnessed great progress in the theory of translation planes. Being interested in, and having worked a little on this subject, I felt the need to clarify for myself what had been happening in this area of mathematics. Thus I lectured about it for several semesters and, at the same time, I wrote what is now this book. It is my very personal view of the story, which means that I selected mainly those topics I had touched upon in my own investigations. Thus finite translation planes are the main the~ of the book. Infinite translation planes, however, are not completely disregarded. As all theory aims at the mastering of the examples, these play a central role in this book. I believe that this fact will be welcomed by many people.However, it is not a beginner's book of geometry. It presupposes consider- able knowledge of projective planes and algebra, especially group theory. The books by Gorenstein, Hughes and Piper, Huppert, Passman, and Pickert mentioned in the bibliography will help to fill any gaps the reader may have.

Was Kombinatorik ist, weiß so recht niemand zu sagen, wie die vielen Beschreibungsversuche zeigen. Daß der Inhalt dieses Bänd­ chens Kombinatorik ist, wird der Leser jedoch nicht abstreiten. Da ich soweit mit dem Leser einig bin, brauche ich mich nicht weiter mit dem Erklären dessen, was Kombinatorik ist, abzumühen. Im übrigen kenne ich auch kein Algebra- oder Analysisbuch, in dessen Vorwort der Autor erklärt, was Algebra bzw. Analysis eigentlich ist. Ich befinde mich da also in guter Gesellschaft. Was den Inhalt dieses Bändchens betrifft, so ist auch klar, daß nur ein geringer Bruchteil der Kombinatorik auf den folgenden Sei­ ten aufgeschrieben steht. Bei der Auswahl der Themen habe ich mich von meinen geometrischen und algebraischen Interessen und meinem Geschmack leiten lassen, so daß manches in diesem Büchlein steht, was man sonst meist nicht in Konibinatorikbüchern findet, wie z. B. die Sylow'schen Sätze und den Existenz-und Eindeutigkeitssatz für end­ liche Körper, das Rado'sche Auswahlprinzip und die Sätze, die sich daran anschließen, sowie die Hadamard'sche Determinantenabschätzung~ die zwar nicht zur Kombinatorik gehört, aber unmittelbar zu kom­ binatorischen Problemen hinführt, die nach wie vor nicht vollständig gelöst sind. Aber auch bei der hier getroffenen Auswahl mußte ich mich noch beschränken, um den Umfang des Büchleins nicht über Gebühr anschwellen zu lassen. Der Leser, der weitere Informationen wünscht, sei auf das Literaturverzeichnis am Ende dieses Bändchens verwiesen.