Herbert Meschkowski – författare

Noneuclidean Geometry focuses on the principles, methodologies, approaches, and importance of noneuclidean geometry in the study of mathematics. The book first offers information on proofs and definitions and Hilbert''s system of axioms, including axioms of connection, order, congruence, and continuity and the axiom of parallels. The publication also ponders on lemmas, as well as pencil of circles, inversion, and cross ratio. The text examines the elementary theorems of hyperbolic geometry, particularly noting the value of hyperbolic geometry in noneuclidian geometry, use of the Poincaré model, and numerical principles in proving hyperparallels. The publication also tackles the issue of construction in the Poincaré model, verifying the relations of sides and angles of a plane through trigonometry, and the principles involved in elliptic geometry. The publication is a valuable source of data for mathematicians interested in the principles and applications of noneuclidean geometry.

Lichtenberg, der geistreiche Spötter, hat über die Mathematiker einmal gesagt: Die Mathematik ist eine gar herrliche Wissenschaft, aber die Mathe­ matiker taugen oft den Henker nicht. Es ist fast mit der Mathematik wie mit der Theologie. So wie die der letztern Beflissenen, zumal wenn sie in )fmtern stehen, Anspruch auf einen besondern Kredit von Heilig­ keit und eine nähere Verwandtschaft mit Gott machen, obgleich sehr viele darunter wahre Taugenichtse sind, so verlangt sehr oft der soge­ nannte Mathematiker für einen tiefen Denker gehalten zu werden, ob es gleich darunter die größten Plunderköpfe gibt, die man nur finden kann, untauglich zu irgendeinem Geschäft, das Nachdenken erfordert, wenn es nicht unmittelbar durch jene leichte Verbindung von Zeichen geschehen kann, die mehr das Werk der Routine, als des Denkens sind. 1) In diesem Buch soll gezeigt werden, daß die Mathematiker nicht alle "Plunder­ köpfe" im Sinne Lichtenbergs sind. Gerade die Beschäftigung mit der Mathe­ matik hat zu allen Zeiten zu originellem Denken angeregt; ja, man ist auf diese Weise zu Erkenntnissen gekommen, die weit über die Mathematik hinaus von hoher Bedeutung sind. Wir erinnern an die Folgerungen, die die Pythagoreer aus der Existenz inkommensurabler Strecken gewonnen haben. Weiter ist die Begründung der formalen Logik zu erwähnen und die moderne Grundlagenforschung mit ihren erkenntnistheoretischen Aussagen. Auf der anderen Seite haben Forscher wie Archimedes oder John von Neumann es verstanden, die Einsichten einer formal interpretierten Mathematik für die Lösung schwieriger technischer Probleme zu nutzen.

Lichtenberg, der geistreiche Spötter, hat über die Mathematiker einmal gesagt: Die Mathematik ist eine gar herrliche Wissenschaft, aber die Mathe­ matiker taugen oft den Henker nicht. Es ist fast mit der Mathematik wie mit der Theologie. So wie die der letztern Beflissenen, zumal wenn sie in )fmtern stehen, Anspruch auf einen besondern Kredit von Heilig­ keit und eine nähere Verwandtschaft mit Gott machen, obgleich sehr viele darunter wahre Taugenichtse sind, so verlangt sehr oft der soge­ nannte Mathematiker für einen tiefen Denker gehalten zu werden, ob es gleich darunter die größten Plunderköpfe gibt, die man nur finden kann, untauglich zu irgendeinem Geschäft, das Nachdenken erfordert, wenn es nicht unmittelbar durch jene leichte Verbindung von Zeichen geschehen kann, die mehr das Werk der Routine, als des Denkens sind. 1) In diesem Buch soll gezeigt werden, daß die Mathematiker nicht alle "Plunder­ köpfe" im Sinne Lichtenbergs sind. Gerade die Beschäftigung mit der Mathe­ matik hat zu allen Zeiten zu originellem Denken angeregt; ja, man ist auf diese Weise zu Erkenntnissen gekommen, die weit über die Mathematik hinaus von hoher Bedeutung sind. Wir erinnern an die Folgerungen, die die Pythagoreer aus der Existenz inkommensurabler Strecken gewonnen haben. Weiter ist die Begründung der formalen Logik zu erwähnen und die moderne Grundlagenforschung mit ihren erkenntnistheoretischen Aussagen. Auf der anderen Seite haben Forscher wie Archimedes oder John von Neumann es verstanden, die Einsichten einer formal interpretierten Mathematik für die Lösung schwieriger technischer Probleme zu nutzen.

Wer die Grundlagenprobleme der modernen Mathematik verstehen will, muß sich zuerst mit der Geschichte der Mathematik befassen. Der Sinn des modernen Formalismus etwa geht einem an den Schwierigkeiten auf, die der klassischen Konzeption vom Wesen der Mathematik im 19. Jahr­ hundert erwuchs. Es ist aber für den modernen Mathematiker nicht so ganz leicht, einen Zugang zur Geschichte seiner Wissenschaft zu finden. Die meisten Schriften zu diesem Thema sind um eine umfassende und nichts Wichtiges übersehende Darstellung bemüht. Auf diese Weise nehmen in den dünnen Büchern die Aufzählungen von Namen und Jahreszahlen einen relativ breiten Raum ein. Aber auch in den weiter angelegten Schriften kann über die Leistungen der einzelnen Forscher immer nur einigermaßen summarisch berichtet werden. Es erscheint deshalb der Versuch berechtigt, die gewiß wichtigen und unentbehrlichen Gesamtdarstellungen (einer Zeit, einer Persönlichkeit) durch einen andersartigen Zugang zur Geschichte der Mathematik zu ergänzen. Wir verzichten ausdrücklich auf Vollständigkeit und wollen versuchen, an einzelnen ausführlicher dargestellten Exempeln die Denk­ weise der Mathematiker vergangener Jahrhunderte lebendig werden zu lassen.

Das Buch enthält 185 vollständige chronologisch geordnete Briefe Cantors aus den verschiedenen Perioden seines Lebens, von denen ein großer Teil erstmals veröffentlicht wird. Aus ihnen wird die Entwicklung des Cantorschen Werkes ebenso deutlich wie die Stellung zu seinen Kollegen und das Ringen um die Anerkennung seiner Theorie. Durch die Vollständigkeit der Briefe und die damit verbundene Einbeziehung auch privater Passagen gewinnt man darüber hinaus Einblicke in Bereiche dieses Forscherlebens, ohne die man die vielschichtige Persönlichkeit Cantors kaum annähernd erfassen kann. Man erkennt, daß manches an dem bisherigen "Cantorbild" revisionsbedürftig ist oder zumindest differenzierter gesehen werden muß. Die den Briefen beigegebenen ergänzenden und erläuternden Kommentare enthalten häufig Passagen aus Antwortschreiben oder weiteren Briefen Cantors, die für das Verständnis der behandelten Sachverhalte hilfreich sind oder sogar neue Aspekte erkennen lassen. Ferner weisen sie auf Zusammenhänge zwischen den Briefen hin. Eine so ausgiebige Kommentierung ist bei wissenschaftlichen Briefsammlungen nicht sehr verbreitet. Ebenfalls hervorzuheben ist das sorgfältig zusammengestellte Sachverzeichnis, das zugleich Hinweise auf die in den Briefen behandelten Themen gibt. Man gewinnt mit diesem Werk eine "Autobiographie" Cantors, die zusammen mit den von Zermelo herausgegebenen "Gesammelten Abhandlungen" (auf die häufig verwiesen wird) ein umfassendes Bild von Leben und Werk dieses großen Forschers liefert.

Das Buch enthält 185 vollständige chronologisch geordnete Briefe Cantors aus den verschiedenen Perioden seines Lebens, von denen ein großer Teil erstmals veröffentlicht wird. Aus ihnen wird die Entwicklung des Cantorschen Werkes ebenso deutlich wie die Stellung zu seinen Kollegen und das Ringen um die Anerkennung seiner Theorie. Durch die Vollständigkeit der Briefe und die damit verbundene Einbeziehung auch privater Passagen gewinnt man darüber hinaus Einblicke in Bereiche dieses Forscherlebens, ohne die man die vielschichtige Persönlichkeit Cantors kaum annähernd erfassen kann. Man erkennt, daß manches an dem bisherigen "Cantorbild" revisionsbedürftig ist oder zumindest differenzierter gesehen werden muß. Die den Briefen beigegebenen ergänzenden und erläuternden Kommentare enthalten häufig Passagen aus Antwortschreiben oder weiteren Briefen Cantors, die für das Verständnis der behandelten Sachverhalte hilfreich sind oder sogar neue Aspekte erkennen lassen. Ferner weisen sie auf Zusammenhänge zwischen den Briefen hin. Eine so ausgiebige Kommentierung ist bei wissenschaftlichen Briefsammlungen nicht sehr verbreitet. Ebenfalls hervorzuheben ist das sorgfältig zusammengestellte Sachverzeichnis, das zugleich Hinweise auf die in den Briefen behandelten Themen gibt. Man gewinnt mit diesem Werk eine "Autobiographie" Cantors, die zusammen mit den von Zermelo herausgegebenen "Gesammelten Abhandlungen" (auf die häufig verwiesen wird) ein umfassendes Bild von Leben und Werk dieses großen Forschers liefert.

Diese Schrift ist aus Vorlesungen entstanden, die für einen weiten Kreis von Studierenden bestimmt waren. Nicht nur die Mathematiker sollten einen überblick bekommen über die Fülle der Probleme, die die mathe= matische Grundlagenforschung stellt. Es sollte versucht werden, im Rahmen des "studium generale" das Verständnis für die "mathematische Denkweise" bei Studierenden anderer Fachrichtungen zu wecken. Und so soll auch in diesem Buch eine Sprache gesprochen werden, die interessierten Nichtmathematikern verständlich sein kann. Freilich - da unsere Aufgabe uns von der Ideenwelt Platons und den Beweisen Euklids bis an die modernen Entscheidungsprobleme führt, muß schon mit der Bereitschaft des Lesers gerechnet werden, ernsthaft mitzudenken und vielleicht auch hier und da etwas verschüttetes Schulwissen auszugraben. Mathematiker können durch diese Schrift angeregt werden, sich mit den philosophischen Fragen zu befassen, die am Rande ihrer Arbeit immer wieder auftauchen. Der kurze überblick über die Grundlagenprobleme kann natürlich dem Fachmann dieses Gebietes nichts Neues bringen. Vielleicht ist es aber doch den Studenten des ersten Semesters willkommen oder auch solchen Mathematikern, die ihr Studium vor längerer Zeit abgeschlossen haben. Die in eckigen Klammern gegebenen Zahlen verweisen auf das nach Kapiteln geordnete Literaturverzeichnis am Schluß des Buches, das zu weiterer und eindringenderer Arbeit an den Grundlagenproblemen an= regen soll. Herrn Prof. Dr. Sprague möchte ich für seine wertvollen Anregungen bei der Durchsicht des Manuskriptes danken, unserm Assistenten Herrn Michael Dörr für die Anfertigung des Registers und der Zeichnungen.

Im Jahrhundert der Naturwissenschaften wächst der Anwendungsbereich mathematischer Methoden ständig. In den letzten Jahrzehnten haben die 50= ziologen, die Psychologen und jüngere Vertreter der Erziehungswissenschaft begonnen, die "Wissenschaft von den formalen Systemen" in ihren Diszi= plinen anzuwenden. Unter diesen Umständen ist die Frage berechtigt, wie denn die intensive Beschäftigung mit der Mathematik die Denkweise des Menschen verändert. Man weiß: Der mathematische Unterricht schult die "räumliche Anschauung" und die Fähigkeit zu logischem Denken. Aber die moderne Mathematik hat Möglichkeiten der Menschenbildung aufzuweisen, die sie in einem ganz neuen Sinne zum "Wecker der Erkenntnis" macht, anders noch als in den Tagen Platons. Davon soll in dieser Schrift die Rede sein. Vieles, was über die moderne Mathematik zu sagen ist, gilt auch für die exakten Naturwissenschaften. Wir werden deshalb (z. B. in dem Kapitel über die Objektivität) auch auf diese Bezüge eingehen. Die Frage nach der Menschenbildung durch die Mathematik ist nicht nur für Lehrer an Schulen und Hochschulen bedeutsam. Sie geht auch Pädagogen und Soziologen an. Wir haben versucht, unsere Darstellung auch für Nicht. mathematiker verständlich zu machen. Natürlich mußten wir immer wieder Beispiele bringen, um die Möglichkeiten des Unterrichts an Schule und Uni= versität zu verdeutlichen. Wer von den geisteswissenschaftlichen Lesern hier nicht folgen kann, mag diese Seiten überschlagen. Die manchen Zeitgenossen so unheimlichen mathematischen Formeln sind ja durch die Art der benutz= ten Typen und den Schriftsatz schon von weitem erkennbar.

Diese Schrift ist aus Vorlesungen entstanden, die für einen weiten Kreis von Studierenden bestimmt waren. Nicht nur die Mathematiker sollten einen überblick bekommen über die Fülle der Probleme, die die mathe= matische Grundlagenforschung stellt. Es sollte versucht werden, im Rahmen des "studium generale" das Verständnis für die "mathematische Denkweise" bei Studierenden anderer Fachrichtungen zu wecken. Und so soll auch in diesem Buch eine Sprache gesprochen werden, die interessierten Nichtmathematikern verständlich sein kann. Freilich - da unsere Aufgabe uns von der Ideenwelt Platons und den Beweisen Euklids bis an die modernen Entscheidungsprobleme führt, muß schon mit der Bereitschaft des Lesers gerechnet werden, ernsthaft mitzudenken und vielleicht auch hier und da etwas verschüttetes Schulwissen auszugraben. Mathematiker können durch diese Schrift angeregt werden, sich mit den philosophischen Fragen zu befassen, die am Rande ihrer Arbeit immer wieder auftauchen. Der kurze überblick über die Grundlagenprobleme kann natürlich dem Fachmann dieses Gebietes nichts Neues bringen. Vielleicht ist es aber doch den Studenten des ersten Semesters willkommen oder auch solchen Mathematikern, die ihr Studium vor längerer Zeit abgeschlossen haben. Die in eckigen Klammern gegebenen Zahlen verweisen auf das nach Kapiteln geordnete Literaturverzeichnis am Schluß des Buches, das zu weiterer und eindringenderer Arbeit an den Grundlagenproblemen an= regen soll. Herrn Prof. Dr. Sprague möchte ich für seine wertvollen Anregungen bei der Durchsicht des Manuskriptes danken, unserm Assistenten Herrn Michael Dörr für die Anfertigung des Registers und der Zeichnungen.