Karlheinz Schüffler – författare

Dieses zweibändige Werk stellt diejenigen Inhalte der Mathematik zusammen, welche die nachhaltige und sichere Anwendung der Methoden und Theorien in den technischen Ingenieurstudiengängen gewährleisten. Zudem erlernen Sie – geleitet durch zahlreiche Übungsaufgaben – allerlei nützliche Rechentechniken sowie eine Vielfalt an methodischen Herangehensweisen, auch unter Einsatz der Software Matlab.Wenn Sie sich auf das Erfolgsrezept des didaktischen Lernprinzips „Verstehen  –  Rechnen –  Anwenden“ einlassen, werden Sie sehen, dass Mathematik im Studium nicht nur bewältigt werden kann, sondern auch dazu beiträgt, technische Anwendungen tiefgründiger zu verstehen und Neues zu entwickeln.In diesem zweiten Band wird zunächst die mehrdimensionale Analysis behandelt, d.h. die Differential- und Integralrechnung von (möglicherweise vektorwertigen) Funktionen in mehreren Variablen. Danach folgen gewöhnliche und partielle Differenzialgleichungen, die zur Modellierung zahlreicher technischer Phänomene gebraucht werden. Eine Einführung in die Optimierung bietet einen Einblick in mathematische Methoden zum Auffinden bestmöglicher Lösungen von ganz unterschiedlichen Fragestellungen. Der vorliegende zweite Band kann unabhängig von Band 1 gelesen werden, welcher die Themen Vorkurs, Analysis in einer Variablen, Lineare Algebra und Statistik enthält, sofern hinreichende Kenntnisse in dessen Grundlagenthemen vorhanden sind.

Dieses zweibändige Werk stellt diejenigen Inhalte der Mathematik zusammen, welche die nachhaltige und sichere Anwendung der Methoden und Theorien in den technischen Ingenieurstudiengängen gewährleisten. Zudem erlernen Sie – geleitet durch zahlreiche Übungsaufgaben – allerlei nützliche Rechentechniken sowie eine Vielfalt an methodischen Herangehensweisen, auch unter Einsatz der Software Matlab. Wenn Sie sich auf das Erfolgsrezept des didaktischen Lernprinzips „Verstehen  –  Rechnen –  Anwenden" einlassen, werden Sie sehen, dass Mathematik im Studium nicht nur bewältigt werden kann, sondern auch dazu beiträgt, technische Anwendungen tiefgründiger zu verstehen und Neues zu entwickeln.In diesem ersten Band werden zunächst alle nötigen Grundlagen dargestellt, wie sie oft in Vorkursen vermittelt werden. Danach folgt die Analysis, also die Differential- und Integralrechnung, in einer Variablen. Die Lineare Algebra behandelt insbesondere das Rechnen mit Vektoren und Matrizen.Schließlich bietet eine Einführung in die Statistik zahlreiche Methoden zur Analyse von Mess- und anderen Daten.Der vorliegende erste Band kann unabhängig von Band 2 gelesen werden, welcher die Themen Analysis in mehreren Variablen, Differenzialgleichungen und Optimierung enthält.

Klänge können harmonisch sein, Zahlenfolgen auch – ein Zufall?Dieses Buch behandelt eine musikalische Proportionenlehre, also die antike Lehre der Proportionen als die älteste und wichtigste gemeinsame Verankerung der beiden Kulturwissenschaften Mathematik und Musik.Die Musiktheorie der Töne, Intervalle, Tetrachorde, Klänge und Skalen ist nämlich das genaue musikalische Abbild der Gesetze der Arithmetik und ihrer Symmetrien in dem Regelwerk des Spiels mit Zahlen, ihren Proportionen und ihren Medietäten. Alleine schon das Wunder der sogenannten Harmonia perfecta maxima 6 – 8 – 9 – 12, deren Proportionen die Quinte sowie die Quarte bestimmen, die Oktave bilden und den ehernen Ganzton in ihrer Mitte haben, prägte das musikalische Gebäude der pythagoräischen Musik über Jahrtausende. Diese elementare Proportionenkette 6 : 8 : 9 : 12 ist zudem vollkommen symmetrisch und aus der arithmetischen wie auch aus der harmonischen Medietät der Oktavzahlen 6 und 12 aufgebaut.Dieses Buch entwickelt die Proportionenlehre als eine mathematische Wissenschaft und stellt ihr immer die musikalische Motivierung mittels zahlreicher Beispiele gegenüber. Die Leitidee ist die Herleitung einer Symmetrietheorie von der Harmonia perfecta maxima bis hin zur Harmonia perfecta infinita abstracta, einem Prozess unbeschränkter Tongenerierungen durch babylonische Mittelwerte-Iterationen. Dabei wird hieraus simultan sowohl die klassisch-antike Diatonik gewonnen als auch der Weg „vom Monochord zur Orgel“ neu beleuchtet. Das Werk enthält schließlich eine von der Mathematik geleitete Hinführung zu der antiken Tetrachordik wie auch zu den kirchentonalen Skalen und schließt mit einem Exkurs in die Klangwelten der Orgel. Hierbei führt uns die „Fußzahlregel der Orgel“ anhand von Beispielen in die Welt der klanglichen Dispositionen dieses Instruments und zeigt die Allgegenwärtigkeit der antiken Proportionenlehre auf.  Dieses Buch eignet sich für alle, die Interesse an Mathematik und Musik haben.

Die Tonleiter – Trivialität oder Problem? Das vorliegende Buch geht dieser provokanten Frage nach. Dabei wird schnell klar, dass das Zusammenfügen von Tönen zu „wohlklingenden“ Tonsystemen eine Herausforderung darstellt, deren Komplexität ungeahnt viele vernetzte Probleme beherbergt. Die FragenWarum hat eine Tonleiter ausgerechnet 12 Töne? Und gäbe es auch andere?Sind nicht 12 Quintschritte genau so viel wie 7 Oktaven?Was ist eigentlich „Konsonanz“? Wann sind Intervalle „rein“, wann „unrein“?Was meinen die Leute mit „Tonartencharakteristik“, mit „Ganz- und Halbtönen“?Was bedeutet „alte Stimmung“ – und gibt es eine neue, die sich von der alten unterscheidet und worin genau bestünden überhaupt die Unterschiede?und viele ähnliche zeigen schnell, dass ihre Antworten nicht nur wohlüberlegte Begründungen benötigen, sondern dass sie auch miteinander eng verbunden sind. In dieser Betrachtung kommt der „Mathematik“ eine Schlüsselrolle zu. Aus zunächst nur „einfachen Proportionen und Zahlenverbindungen“ erwächst ein regelrechtes Netzwerk, in welchem sowohl die Methoden der Tonleiter-Generierungen mit ihren Wolfsquintenkreisen und Eulergitter-Auswahlverfahren als auch die Modelle der Temperierungssysteme wissenschaftlich fundiert erklärt werden können. In drei Teilen werdeneine moderne Intervall-Arithmetik und ihre durch Primzahlen gesteuerte Theorie der Teilung, der Zerlegung und des Aufbaus musikalischer Intervalle,die Architektur-Gesetze musikalischer Skalen mit ihren Modellen und Mustern, ihren Stufengeometrien und Charakteristiken, ihren Semitonia und Kommata sowie der kombinatorischen Vielfalt aller leitereigenen Strukturen,die Systematik der historischen Stimmungen und ihrer Temperierungssystemevorgestellt und durch zahlreiche Beispiele und Geschichten aus der Märchenwelt musikalischer Fabelwesen begleitet. Das musik-mathematische Rechnen und verstehende Argumentieren benötigt lediglich die bekannten schulischen Grundlagen, welche dann zu einer passenden Algebra und Analysis entwickelt und musikalisch angewendet werden.

Sounds can be harmonic, number sequences too - a coincidence?This book deals with a musical theory of proportions, i.e. the ancient doctrine of proportions as the oldest and most important common anchorage of the two cultural sciences mathematics and music.The musical theory of tones, intervals, tetrachords, sounds and scales is in fact the exact musical image of the laws of arithmetic and its symmetries in the set of rules of playing with numbers, their proportions and their medievals. Alone the miracle of the so-called Harmonia perfecta maxima 6 - 8 - 9 - 12, whose proportions determine the fifth as well as the fourth, form the octave and have the brazen whole tone in their center, shaped the musical edifice of Pythagorean music for thousands of years. This elementary chain of proportions 6 : 8 : 9 : 12 is, moreover, completely symmetrical and built up from the arithmetic as well as from the harmonic medieta of the octave numbers 6 and 12.This book develops the theory of proportions as a mathematical science and always contrasts it with the musical motivation by means of numerous examples. The main idea is the derivation of a theory of symmetry from the Harmonia perfecta maxima to the Harmonia perfecta infinita abstracta, a process of unlimited tone generations by Babylonian mean iterations. From this, both the classical-antique diatonic is simultaneously extracted and the path "from the monochord to the organ" is re-examined.Finally, the work contains a mathematically guided introduction to the ancient tetrachordics as well as to the church tonal scales and concludes with an excursion into the sound worlds of the organ. Here the "foot-number rule of the organ" leads us by means of examples into the world of the tonal dispositions of this instrument and shows the omnipresence of the ancient theory of proportions. This book is suitable for anyone with an interest in mathematics and music.This book is a translation of the original German 1st edition Proportionen und ihre Musik by Karlheinz Schüffler, Springer-Verlag GmbH Germany, part of Springer Nature in 2019. The translation was done with the help of artificial intelligence (machine translation by the service DeepL.com). A subsequent human revision was done primarily in terms of content, so that the book will read stylistically differently from a conventional translation. Springer Nature works continuously to further the development of tools for the production of books and on the related technologies to support the authors.

The Musical Scale – a Triviality or a Problem?This book examines this provocative question. It soon becomes clear that combining tones into “harmonious” tonal systems represents a challenge of unexpected complexity, encompassing a remarkably large number of interconnected problems.Why does a scale have precisely 12 tones? And could there be others?Aren't 12 perfect fifths always exactly the same as 7 octaves?What exactly is "consonance" or when are intervals "pure," when "impure"?What is meant by "temperament characteristic" in relation to whole and half tones?What does "old tuning" mean – and is there a "new" one that differs from it, and if so, what exactly are the differences?and many similar ones quickly show that their answers not only require well-considered justifications but are also closely interconnected. In this examination, "mathematics" plays a key role. Starting with "simple proportions and numerical relationships", a veritable network emerges, in which both the methods of scale generation with their circle of wolf fifths and Euler grid selection procedures, as well as the models of temperament systems, can be scientifically explained. In three parts,a modern interval arithmetic of musical intervals and their theory of division, decomposition, and construction of musical intervals, driven by prime numbers,the architectural laws of musical scales with their models and patterns, their step geometries and characteristics, their semitones and commas, as well as the combinatorial diversity of all scale-internal structures,a mathematical-methodical description of the central temperament systems with a new, consistent systematics of significant historical tunings are presented and equipped with numerous examples. The music-mathematical calculations and explanatory arguments require only basic school-level knowledge, which are then developed into a suitable algebra and analysis and applied to musical themes. A small peculiarity: stories from the fairytale world of musical mythical creatures accompany the text and explain it in an amusing way.This book is a translation of the original German edition Die Tonleiter und ihre Mathematik, 4th edition, by Karlheinz Schüffler, published by Springer-Verlag GmbH, DE in 2026. The translation was done with the help of an artificial intelligence machine translation tool. A subsequent human revision was done primarily in terms of content, so that the book will read stylistically differently from a conventional translation.