Franz Lemmermeyer - Böcker

This undergraduate textbook provides an elegant introduction to the arithmetic of quadratic number fields, including many topics not usually covered in books at this level. Quadratic fields offer an introduction to algebraic number theory and some of its central objects: rings of integers, the unit group, ideals and the ideal class group. This textbook provides solid grounding for further study by placing the subject within the greater context of modern algebraic number theory. Going beyond what is usually covered at this level, the book introduces the notion of modularity in the context of quadratic reciprocity, explores the close links between number theory and geometry via Pell conics, and presents applications to Diophantine equations such as the Fermat and Catalan equations as well as elliptic curves. Throughout, the book contains extensive historical comments, numerous exercises (with solutions), and pointers to further study.Assuming a moderate background in elementary number theory and abstract algebra, Quadratic Number Fields offers an engaging first course in algebraic number theory, suitable for upper undergraduate students.

Providing the first comprehensive account of the widely unknown cooperation and friendship between Emmy Noether and Helmut Hasse, this book contains English translations of all available letters which were exchanged between them in the years 1925-1935.

This volume consists of the English translations of the letters exchanged between Emil Artin to Helmut Hasse written from 1921 until 1958. The letters are accompanied by extensive comments explaining the mathematical background and giving the information needed for understanding these letters.

When Leonhard Euler first arrived at the Russian Academy of Sciences, at the age of 20, his career was supported and promoted by the Academy’s secretary, the Prussian jurist and amateur mathematician Christian Goldbach (1690-1764). Their encounter would grow into a lifelong friendship, as evinced by nearly 200 letters sent over 35 years.This exchange – Euler’s most substantial long-term correspondence – has now been edited for the first time with an English translation, ample commentary and documentary indices. These present an overview of 18th-century number theory, its sources and repercussions, many details of the protagonists’ biographies, and a wealth of insights into academic life in St. Petersburg and Berlin between 1725 and 1765.Part I includes an introduction and the original texts of the Euler-Goldbach letters, while Part II presents the English translations and documentary indices.

When Leonhard Euler first arrived at the Russian Academy of Sciences, at the age of 20, his career was supported and promoted by the Academy’s secretary, the Prussian jurist and amateur mathematician Christian Goldbach (1690-1764). Their encounter would grow into a lifelong friendship, as evinced by nearly 200 letters sent over 35 years.This exchange – Euler’s most substantial long-term correspondence – has now been edited for the first time with an English translation, ample commentary and documentary indices. These present an overview of 18th-century number theory, its sources and repercussions, many details of the protagonists’ biographies, and a wealth of insights into academic life in St. Petersburg and Berlin between 1725 and 1765.Part I includes an introduction and the original texts of the Euler-Goldbach letters, while Part II presents the English translations and documentary indices.

This book covers the development of reciprocity laws, starting from conjectures of Euler and discussing the contributions of Legendre, Gauss, Dirichlet, Jacobi, and Eisenstein. Readers knowledgeable in basic algebraic number theory and Galois theory will find detailed discussions of the reciprocity laws for quadratic, cubic, quartic, sextic and octic residues, rational reciprocity laws, and Eisensteins reciprocity law. An extensive bibliography will be of interest to readers interested in the history of reciprocity laws or in the current research in this area.

This book covers the development of reciprocity laws, starting from conjectures of Euler and discussing the contributions of Legendre, Gauss, Dirichlet, Jacobi, and Eisenstein. Readers knowledgeable in basic algebraic number theory and Galois theory will find detailed discussions of the reciprocity laws for quadratic, cubic, quartic, sextic and octic residues, rational reciprocity laws, and Eisensteins reciprocity law. An extensive bibliography will be of interest to readers interested in the history of reciprocity laws or in the current research in this area.

Wenn heutzutage Mathematik auf dem Speiseplan steht, kommen bei Schülern eher selten Begeisterungsstürme auf. Auch Lehrer, die noch wissen, was man vor 30 Jahren am Gymnasium unterrichtet hat, haben bisweilen das Gefühl, dass das Fach Mathematik in der Kursstufe in manchen Bundesländern nach den Reformen der letzten Jahre zur mathematikfreien Zone degeneriert ist. So wie die Werbung uns glauben macht, ein Produkt aus Gelatine und künstlichen Aromen sei eine gesunde Zwischenmahlzeit, so wollen uns manche Didaktiker erklären, im heutigen Unterricht würden einfach nur andere Kompetenzen betont.Der Autor, der nach einigen Zwischenstationen an Universitäten in den USA und der Türkei seit 2007 an einem Gymnasium im Süden Deutschlands unterrichtet, gehört zu den Kritikern der modernen Didaktik, die wie die berühmten Bewohner eines kleinen gallischen Dorfs einer Übermacht von empirischen Bildungsforschern gegenüberstehen, und hat sich nicht davon überzeugen können, dass es mathematische Kompetenzen ohne Kenntnisse und Fertigkeiten gibt. Damit der Inhalt wieder seinen Weg zurück in den Unterricht finden kann, soll dieser (erste) Band statt Schokoschnitten wieder Äpfel anpreisen: Elementare Geometrie und etwas Algebra im Zusammenhang mit klassischen Themen wie dem Satz des Pythagoras, dem Satz des Thales, oder den schon lange entsorgten Kernsätzen des Euklid, garniert mit zahlreichen historischen Bemerkungen und vielen Aufgaben und Übungen.

Der zweite Band dieser Reihe macht Lust auf Mathematik, und zwar auf Mathematik, die wie die Elementargeometrie im ersten Band lange Zeit den Schulunterricht geprägt hat. Die Leser können einen kurzen Blick auf die 4000-jährige Geschichte der quadratischen Gleichungen werfen und erfahren, was diese mit der Geometrie der Kegelschnitte zu tun haben. Darüber hinaus lernen sie Anwendungen der Kegelschnitte in der Physik und Astronomie kennen und entdecken, wie leistungsfähig selbst elementare Mathematik ist, wenn man sie ernst nimmt. Das letzte Kapitel geht inhaltlich etwas über die klassische Schulmathematik hinaus und zeigt, wie die Algebra und die Geometrie der Kegelschnitte einen neuen Zugang zu einem bekannten Olympiadeproblem aus der Zahlentheorie eröffnen.Vom gleichen Autor ist in der Reihe bereits erschienen: Mathematik à la Carte – Elementargeometrie an Quadratwurzeln mit einigen geschichtlichen Bemerkungen.

Die Theorie der quadratischen Zahlkörper ist der erste Schritt hin auf eine allgemeine Theorie algebraischer Zahlkörper. Außerdem gehen wir ausführlich auf die Geschichte der algebraischen Zahlentheorie ein und besprechen einige für die Entwicklung dieser Disziplin wichtige Beispiele.

Aufbauend auf der Mathematik der ersten neun Schuljahre wird erklärt, wie die Babylonier ihre Zahlen geschrieben haben, wie sie die Grundrechenarten ausgeführt und Wurzeln berechnet haben, und wie sie quadratische Probleme formuliert und dann mit geometrischen Mitteln gelöst haben.

​4000 Jahre Zahlentheorie nimmt die Leser und Leserinnen mit auf eine Reise durch die Geschichte eines lange Zeit belächelten Gebiets der Mathematik. Im ersten Teil wird das Auf und Ab mathematischer Kulturen geschildert, beginnend mit den ersten zahlentheoretischen Fragestellungen der Babylonier, dem Studium von Primzahlen und vollkommenen Zahlen bei den Griechen und in der islamischen Welt, bis zu den Untersuchungen rechtwinkliger Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen in Indien und China. Die Erfindung des Buchdrucks und die Wiederentdeckung der griechischen Mathematik, insbesondere des Werks von Diophant, führte zu einem ungeheuren Aufschwung in der Zahlentheorie unter den Händen von Fermat, Euler, Lagrange und Legendre bis hin zu Gauß und seinem Jahrhundertwerk, den Disquisitiones Arithmeticae. Der dritte Teil beschäftigt sich mit der Generation von Zahlentheoretikern nach Gauß, die sich intensiv mit den Disquisitiones auseinandergesetzt haben und welche mit der Anwendung analytischer Methoden Ergebnisse erzielt haben, welche mit elementaren Techniken nur schwer oder gar nicht erreichbar sind; dazu gehören Dirichlet, Jacobi, Abel und Eisenstein. Während die Zahlentheorie bis Fermat nur wenige Kenntnisse der Mathematik verlangt, benötigt man für das Verständnis des Eulerschen Werks bereits Vertrautheit mit der Oberstufenanalysis, danach punktuell auch deutlich mehr.