Wirtschaftsmathematik für Dummies 2e

Dr. Christoph Mayer promovierte an der Universität Mannheim in BWL und lehrte dort Lineare Algebra sowie Finanzmathematik. Derzeit arbeitet er bei der EnBW AG und hat einen Lehrauftrag an der FH Ludwigshafen.Sören Jensen studierte BWL und promovierte an der Universität Mannheim. Während seines Studiums arbeitete er als Tutor für Lineare Algebra und Finanzmathematik und hält noch heute Vorlesungen und Übungen. Mittlerweile arbeitet er bei einer großen Versicherung.Suleika Bort ist Diplom-Kauffrau und promovierte an der Universität Mannheim. Sie ist in der Lehre im Fach Management tätig und habilitiert an der Universität Mannheim.

• Einleitung 25 Uber dieses Buch 25 Konventionen in diesem Buch 25 Torichte Annahmen uber den Leser 26 Wie dieses Buch aufgebaut ist 26 Teil I: Auf die Platze Einfache Algebra 26 Teil II: Analysis 26 Teil III: Ordnung schaffen in der Zahlenwelt Mit Matrizen und Gleichungssystemen 27 Teil IV: Wahrscheinlichkeitsrechnung 27 Teil V: Finanzmathematik 27 Teil VI: Der Top-Ten-Teil 27 Zusatzmaterialien im Internet 27 Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 28 Wie es weitergeht 28 Teil I Auf die Platze Einfache Algebra 29 Kapitel 1 Am Anfang stand die Algebra 31 Mit Vorzeichen rechnen 31 Zahlen mit Vorzeichen addieren und subtrahieren 31 Zahlen mit Vorzeichen multiplizieren und dividieren 32 Algebraische Eigenschaften eine Skizze 32 Bewahren Sie Ordnung mit dem Kommutativgesetz 32 Harmonie in der Gruppe mit dem Assoziativgesetz 33 Das Distributivgesetz Werte verteilen 33 Was Sie uber Bruche wissen sollten 34 Ein paar schnelle Regeln 35 Bruche multiplizieren 35 Bruche dividieren 35 Bruche addieren 36 Bruche subtrahieren 37 Prozent berechnen 37 Steuern und Rabatte beurteilen 38 Potenzen machen stark 39 Zu den Wurzeln der Wurzeln 40 Logarithmen wirklich keine Hexerei 41 Mehr als einen Term ausmultiplizieren 41 Binome ausmultiplizieren 42 Polynom mal Polynom 43 Besonders verteilt: Manchmal geht es schneller 43 Kapitel 2 Gleichungen losen 45 Ausgeglichene Gleichungen 45 Lineare Gleichungen losen 45 Quadratische Gleichungen losen 47 Faktorisieren von Trinomen mit der Quadratformel 48 Faktorisieren von Trinomen mit nur einer Losung 49 Bleiben Sie bei Gleichungen mit Bruchen rational! 50 Rationale Gleichungen mit Proportionen losen 50 Machen Sie sich frei von Wurzeln! 54 Beide Seiten einer Wurzelgleichung quadrieren 55 Zwei Wurzeln ausgleichen 56 Exponentialgleichungen losen 57 Logarithmische Gleichungen losen 59 Log gleich Log setzen 59 Logarithmische Gleichungen in Exponentialgleichungen umformen 61 Teil II Analysis 63 Kapitel 3 Ein Leben mit Listen: Folgen und Reihen 65 Die Terminologie der Folgen 65 Die Notation der Folge 66 Die Fakultat in Folgen 66 Alternierende Folgenmuster 67 Muster in Folgen 68 Arithmetische und geometrische Folgen 71 Gemeinsame Grundlagen: Arithmetische Folgen 71 Der multiplikative Ansatz: Geometrische Folgen 73 Rekursiv definierte Funktionen 74 Und jetzt zu den Reihen 75 Die Notation fur die Summenbildung 76 Arithmetische Summenbildung 76 Geometrische Summenbildung 77 Summen von Folgen in der Praxis 80 Inventur der Lebensmittel 80 Lohnverhandlungen 81 Besondere Formeln fur Reihen 81 Kapitel 4 Fantastische Funktionen 83 Wie sieht eine Funktion aus? 83 Was es mit Definitions- und Wertebereich auf sich hat 85 Den Definitionsbereich einer Funktion bestimmen 86 Den Wertebereich einer Funktion beschreiben 87 Geradeheraus Geraden in der Ebene 88 Die Steigungen treffen 89 Die Steigung einer Funktion 90 Polynome 91 Die Standard-Polynomform 92 Vom Verstand geleitet: Rationale Funktionen 93 Rationale Funktionen erkunden 93 Definitionsbereiche erweitern 93 Exponentialfunktionen 94 Logarithmische Funktionen 95 Sinus, Kosinus und Tangens zeichnen 96 Zusammengesetzte Funktionen 97 Wachstumsfunktionen 98 Lineares Wachstum 98 Exponentielles Wachstum 99 Beschranktes Wachstum 100 Logistisches Wachstum 102 Kapitel 5 Auch Funktionen haben Eigenschaften 105 Schnittpunkte mit den Achsen 105 Die y-Schnittpunkte finden 105 Die x-Schnittpunkte 106 Was ist der Grenzwert? 106 Die formale Definition eines Grenzwerts 107 Unendliche Grenzwerte und vertikale Asymptoten 108 Grenzwerte an der Unendlichkeit haben Sie gute Schuhe an? 109 Grenzwerte und Stetigkeit verknupfen 109 Stetigkeit und Grenzwerte gehen normalerweise Hand in Hand 110 Die Ausnahme fur ein Loch bringt die Wahrheit ans Licht 110 Die uberflussige Mathematik der Stetigkeit aussortieren 112 Grenzwerte, die Sie sich merken sollten 112 Grenzwerte bei unendlich auswerten 113 Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten 114 Grenzwerte bei unendlich mit einem Taschenrechner losen 115 Algebra fur Grenzwerte bei unendlich verwenden 115 Kapitel 6 Die Differentialrechnung 117 Die Ableitung einer Funktion 118 Der Differenzquotient 120 Durchschnittliche Anderungsrate und unmittelbare Anderungsrate 126 Sein oder nicht sein? Drei Falle, in denen die Ableitung nicht existiert 127 Grundlegende Regeln der Differentiation 127 Die Konstantenregel 128 Die Potenzregel 128 Die Regeln zu dem Vielfachen von Konstanten 129 Die Summenregel und die kennen Sie schon 130 Die Differenzregel macht kaum einen Unterschied 130 Trigonometrische Funktionen differenzieren 130 Exponentialfunktionen differenzieren 131 Logarithmische Funktionen differenzieren 132 Differentiationsregeln fur Profis Wir sind die Champs! 132 Die Produktregel 132 Die Quotientenregel 133 Die Kettenregel 134 Ableitungen hoherer Ordnung skalieren 139 Ein Ausflug mit der Analysisgruppe 140 Uber die Berge und durch die Taler: Positive und negative Steigungen 141 Uns fallt keine Reisemetapher fur diesen Abschnitt ein: Krummung und Wendepunkte 141 Das Tal der Tranen: Ein lokales Minimum 142 Ein atemberaubender Ausblick: Das absolute Maximum 142 Autopanne: Auf dem Scheitelpunkt hangen geblieben 142 Von nun an ging's bergab! 142 Ihr Reisetagebuch 143 Lokale Extremwerte finden 143 Die kritischen Werte herausleiern 143 Der Test der ersten Ableitung 145 Der Test der zweiten Ableitung Tests, Tests, Tests! 147 Absolute Extremwerte fur ein geschlossenes Intervall finden 150 Die absoluten Extremwerte uber den gesamten Definitionsbereich einer Funktion finden 153 Krummung und Wendepunkte bestimmen 154 Tangenten und Normale: Auf die Spitze getrieben 156 Die Aufgabenstellung mit der Tangente 157 Das Normallinienproblem 160 Aufgabenstellungen aus der Geschaftswelt und aus der Wirtschaft 163 Verwaltung von Grenzkosten in der Wirtschaft 163 Grenzkosten 165 Grenzertrag 165 Grenzgewinn 166 Kapitel 7 Mehrdimensionale Funktionen 169 Funktionen mit mehreren Variablen 169 Zweidimensionale Funktionen darstellen 170 3-D-Darstellung 170 Hohenliniendarstellung 171 Partielle Differentiale 172 Ableitungen hoherer Ordnung 173 Die Hessematrix bestimmen 174 Steigungen darstellen und berechnen 175 Partielle Ableitung nach x1 erster Ordnung 176 Partielle Ableitung nach x1 zweiter Ordnung 177 Kreuzableitung nach x1 und x2 177 Totales Differential 179 Konvexitat, Konkavitat 179 Extrema bestimmen 181 Kapitel 8 Integration: Die Ruckwarts-Differentiation 185 Stammfunktionen suchen die umgekehrte Differentiation 185 Das Vokabular: Welchen Unterschied macht es? 187 Die mussige Flachenfunktion 187 Ruhm und Ehre mit dem Hauptsatz der Analysis 190 Der Hauptsatz der Analysis: Teil2 193 Stammfunktionen finden: Vier grundlegende Techniken 195 Umkehrregeln fur Stammfunktionen 195 Schatzen und Prufen 197 Die Substitutionsmethode 199 Teilweise Integration: Teilen und Herrschen! 204 Teil III Ordnung schaffen in der Zahlenwelt Mit Matrizen und Gleichungssystemen 211 Kapitel 9 Mit Matrizen durch die Mathe flitzen 213 Die verschiedenen Matrizentypen 213 Zeilen- und Spaltenmatrizen 214 Quadratische Matrizen 215 Null-Matrizen 215 Einheitsmatrizen 215 Einfache Operationen mit Matrizen durchfuhren 216 Matrizen addieren und subtrahieren 216 Matrizen mit Skalaren multiplizieren 217 Zwei Matrizen multiplizieren 217 Matrizen und Operationen anwenden 220 Die innerbetriebliche Materialverflechtung 223 Elementare Zeilenumformungen definieren 228 Kapitel 10 Lineare Gleichungssysteme losen 231 Die Standardform linearer Systeme und ihre moglichen Losungen 231 Grafische Losung von linearen Systemen 232 Den Schnittpunkt bestimmen 232 Zweimal dieselbe Gerade 233 Parallele Geraden 234 Systeme zweier linearer Gleichungen durch Addition eliminieren 235 Einen Eliminationspunkt finden 235 Losungen fur parallele und koexistente Geraden 237 Systeme mit zwei linearen Gleichungen durch Einsetzen losen 237 Variablen einsetzen leicht gemacht 238 Parallele und koexistente Geraden erkennen 239 Mit der Cramer'schen Regel unhandliche Bruche bekampfen 240 Das lineare Gleichungssystem fur Cramer vorbereiten 241 Anwendung der Cramer'schen Regel auf ein lineares System 242 Lineare Systeme auf drei lineare Gleichungen steigern 242 Systeme mit drei Gleichungen mithilfe der Algebra losen 243 Eine verallgemeinerte Losung fur Linearkombinationen einrichten 244 Wir steigern die Gleichungen noch weiter 246 Lineare Systeme in der Praxis 248 Mathe an der Frittenbude 248 Innerbetriebliche Leistungen verrechnen 249 Mithilfe von Systemen Bruche zerlegen 251 Lineare Systeme uber die Matrizenschreibweise losen 253 Kapitel 11 Matrizen noch mehr Moglichkeiten 257 Die Determinante bestimmen 257 Klein geht's los mit nur vier Zahlen 257 Die Steigerung folgt sogleich 258 Aber Sie konnen noch viel mehr grenzenlose Grossen 258 Inverse Matrizen finden 260 Additive Inverse bestimmen 261 Multiplikative Inverse bestimmen 261 Matrizen mithilfe von Inversen dividieren 266 Die erweiterten Matrizenfunktionen auf lineare Gleichungssysteme anwenden 267 Mit der Determinante die Losbarkeit eines Gleichungssystems bestimmen 267 Mit der Cramer'schen Regel ein Gleichungssystem losen 268 Mit der Inversen ein Gleichungssystem losen 270 Das Leontief-Modell kennenlernen 272 Teil IV Lineare Algebra 277 Kapitel 12 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeit 279 Ein Uberblick uber die Mengennotation 279 Ergebnisse festhalten: Stichprobenraume 279 Teilmengen von Stichprobenraumen festhalten: Ereignisse 281 Die leere Menge 281 Mengenoperationen: Vereinigung, Schnittmenge und Komplement 283 Arten der Wahrscheinlichkeit 284 Wahrscheinlichkeitsnotation 284 Marginale Wahrscheinlichkeit 285 Wahrscheinlichkeit der Vereinigung 286 Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge 286 Komplementare Wahrscheinlichkeit 286 Bedingte Wahrscheinlichkeit 287 Wahrscheinlichkeitsregeln verstehen und anwenden 289 Die Komplementarregel 290 Die Multiplikationsregel 291 Die Additionsregel 292 Unabhangigkeit mehrerer Ereignisse 292 Die Unabhangigkeit zweier Ereignisse anhand der Definition prufen 293 Die Multiplikationsregel fur unabhangige Ereignisse nutzen 294 Einander ausschliessende Ereignisse berucksichtigen 294 Einander ausschliessende Ereignisse erkennen 295 Die Additionsregel mit einander ausschliessenden Ereignissen vereinfachen 296 Unabhangige und einander ausschliessende Ereignisse unterscheiden 296 Ein Vergleich von Unabhangigkeit und Ausschliesslichkeit 296 Die Unabhangigkeit oder Ausschliesslichkeit in einem Kartenspiel mit 52 Karten prufen 297 Kapitel 13 Wahrscheinlichkeit visualisieren: Venn-Diagramme, Baumdiagramme und das Bayes-Theorem 299 Wahrscheinlichkeiten mit Venn-Diagrammen visualisieren 300 Mit Venn-Diagrammen nicht gegebene Wahrscheinlichkeiten ermitteln 300 Beziehungen mit Venn-Diagrammen ordnen und visualisieren 301 Umwandlungsregeln fur Mengen in Venn-Diagrammen 303 Die Grenzen von Venn-Diagrammen 304 Wahrscheinlichkeiten fur komplexe Aufgaben mit Venn-Diagrammen ermitteln 305 Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagrammen darstellen 307 Mehrstufige Ereignisse mit einem Baumdiagramm visualisieren 308 Bedingte Wahrscheinlichkeiten mit einem Baumdiagramm visualisieren 310 Die Grenzen der Baumdiagramme 313 Mit einem Baumdiagramm Wahrscheinlichkeiten fur komplexe Ereignisse ermitteln 314 Das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit und das Bayes-Theorem 316 Eine marginale Wahrscheinlichkeit mit dem Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit berechnen 316 Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit mit dem Bayes-Theorem berechnen 320 Kapitel 14 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 325 Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen 325 Was ist eine Zufallsvariable? 325 Die Wahrscheinlichkeitsverteilung finden und anwenden 327 Die kumulative Verteilungsfunktion ermitteln und anwenden 332 Die kumulative Verteilungsfunktion interpretieren 333 Die kumulative Verteilungsfunktion grafisch darstellen 333 Wahrscheinlichkeiten mit der kumulativen Verteilungsfunktion ermitteln 334 Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion aus der kumulativen Verteilungsfunktion ableiten 336 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer diskreten Zufallsvariablen 338 Den Erwartungswert von X berechnen 338 Die Varianz von X berechnen 340 Die Standardabweichung von X berechnen 341 Kapitel 15 Die Normalverteilung 343 Die Grundlagen der Normalverteilung 343 Quantile und Perzentile 344 Form, Mittelpunkt und Spreizung der Normalverteilung 345 Die Standardnormalverteilung (Z-Verteilung) 346 Wahrscheinlichkeiten fur eine Normalverteilung berechnen und anwenden 349 Den Graphen zeichnen 350 Eine Aufgabe in die Wahrscheinlichkeitsnotation ubersetzen 350 Die Z-Formel anwenden 351 Mit der Z-Tabelle die Wahrscheinlichkeit ermitteln 352 Aufgaben zur Normalverteilung mit Ruckwartsrechnung 357 Analyse einer Aufgabe zur Normalverteilung mit Ruckwartsrechnung 358 Die Z-Tabelle ruckwarts lesen 360 Die Z-Formel nach X auflosen, um X-Einheiten zu berechnen 362 Kapitel 16 Bestimmte Verteilungen 365 Diskrete Verteilungen 365 Die diskrete Gleichverteilung 366 Binomialverteilung 368 Poissonverteilung 372 Stetige Verteilungen 375 Stetige Gleichverteilung 376 Exponentialverteilung 379 Die kumulative Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung 380 Kapitel 17 Der Zentrale Grenzwertsatz und das Gesetz der grossen Zahlen 383 Der Zentrale Grenzwertsatz 383 Das Hauptergebnis des Zentralen Grenzwertsatzes 383 Warum der Zentrale Grenzwertsatz funktioniert 384 Das Gesetz der grossen Zahlen 387 Wer will wieder Wurfel werfen? 388 Teil V Finanzmathematik 389 Kapitel 18 Zinsrechnung 391 Die Zinsrechnung aller guten Dinge sind drei 391 Die Zinsen 391 Das Kapital 392 Die Laufzeit 392 Verzinsungsmodelle 393 Lineare Verzinsung 393 Zinseszinsrechnung verzins mir die Zinsen! 394 Aus Eins mach Vier: Eine Formel und vier Probleme 396 Die Frage nach dem Endkapital 397 Die Frage nach dem Zinssatz 397 Die Frage nach der Laufzeit 398 Die Frage nach dem Anfangskapital 398 Die vier Fragen in der linearen Verzinsung 399 Den Barwert des Kapitals berechnen 400 Die unterjahrige Verzinsung kein Untergang 402 Effektiver und nomineller Zinssatz 403 Gemischte Verzinsung 405 Variable Verzinsung 407 Stetige Verzinsung 408 Kapitel 19 Rentenrechnung 411 Rentenzahlungen 411 Vor- und nachschussige Rente 412 Vorschussige Rentenrechnung 412 Nachschussige Rentenrechnung 413 Vergleich von vorschussiger und nachschussiger Rente 414 Aus Eins mach Vier (II): Eine Formel und vier Probleme 416 Die Frage nach dem Endkapital 416 Die Frage nach dem Anfangskapital 416 Die Frage nach der Hohe der Rente 417 Die Frage nach der Laufzeit 418 Nichtubereinstimmung von Zins- und Rentenperiode 418 Unterjahrige Rente mit jahrlicher Zinsverrechnung 419 Jahrliche Rente mit unterjahriger Zinsverrechnung 422 Alle Dagobert Ducks aufgepasst! Kapitalaufbau und Kapitalverzehr 423 Kapitalaufbau: Die Sparerformel 423 Kapitalverzehr 424 Wachsende Renten 425 Arithmetisch veranderliche Rente 426 Geometrisch veranderliche Rente 428 Bis zum bitteren Ende: Ewige Renten 429 Barwert bei ewig gleich bleibender nachschussiger Rente 430 Barwert bei ewig gleich bleibender vorschussiger Rente 431 Kapitel 20 Tilgungsrechnung 433 Tilgungsrechnung Die Zerlegung des Darlehens 433 Die Bausteine der Tilgungsrechnung 434 Tilgungsplan 435 Tilgungsarten 435 Ratentilgung 436 Berechnung einzelner Tilgungselemente ohne gesamten Tilgungsplan 438 Annuitatentilgung 440 Direkte Berechnung einzelner Tilgungsbausteine 443 Die Lange des Darlehens 445 Kapitel 21 Kurs- und Renditenrechnung 447 Wertpapierhandel 447 Gestatten Mein Name ist Bond Kurs und Rendite einer Anleihe 448 Berechnung von Anleihen 449 Kursermittlung 450 Renditeermittlung 452 Zero-Bond 453 Aktienhandel 455 Einfache versus logarithmische Rendite 455 Kapitel 22 Investitionsrechnung 457 Zahlungsstrome bestimmen 457 Hohe des Kalkulationszinssatzes 459 Kapitalwertmethode 460 Beurteilung der Rentabilitat mit der Kapitalwertmethode 462 Interner Zinssatz 464 Beurteilung der Vorteilhaftigkeit einer Investition 465 Amortisationsdauer 466 Teil VI Der Top-Ten-Teil 469 Kapitel 23 Zehn Schritte beim Losen von Textaufgaben 471 Ein Bild zeichnen 471 Eine Liste erstellen 471 Variablen fur Zahlen wahlen 471 Worter in Zeichen ubersetzen 472 Den letzten Satz beachten 472 Eine Formel finden 472 Mit Ersetzungen vereinfachen 473 Eine Gleichung losen 473 Den Sinn prufen 473 Die Genauigkeit kontrollieren 473 Kapitel 24 Zehn Dinge, mit denen Sie in der Prufung nicht durchkommen 475 Geben Sie fur eine Prufungsfrage zwei Losungen an 475 Schreiben Sie in Prufungen unleserlich 475 Zeigen Sie Ihren Losungsweg in der Prufung nicht auf 475 Losen Sie nicht alle Prufungsaufgaben 476 Machen Sie Ihre Lerngruppe fur Ihre schlechten Noten verantwortlich 476 Sagen Sie Ihrem Dozenten, dass Sie eine gute Note in Wirtschaftsmathematik brauchen, um Ihre Flamme zu beeindrucken 476 Beschweren Sie sich, dass Prufungen am fruhen Morgen nicht fair sind, weil Sie ein Morgenmuffel sind 476 Stellen Sie das gesamte Notensystem infrage 476 Losen Sie wahrend der Prufung den Feueralarm aus 477 Verwenden Sie dieses Buch als Entschuldigung 477 Stichwortverzeichnis 479