Teubner Skripten zur Mathematischen Stochastik – serie

Das Buch wendet sich an Studierende der hoheren Semester und junge Wissenschaftler, die Interesse an der angewandten Statistik, insbesondere an der Zuverlassigkeitsstatistik, und den dazugehorigen modernen mathematischen Verfahren haben. Hierfur werden Modelle des Ausfallverhaltens von Elementen und Systemen vorgestellt und statistische Verfahren fur Zuverlassigkeitsdaten beschrieben. In weiten Teilen ist das Buch auch fur solche Leser verstandlich, die Grundkenntnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematischen Statistik, wie sie in einem Studium der Ingenieur- oder Wirtschaftswissenschaften vermittelt werden, besitzen. Viele Beispiele, Erklarungen und Bemerkungen illustrieren den mathematischen Inhalt. Neben analytischen Methoden enthalt das Buch auch eine Einfuhrung in Simulations- und Bootstrapmethoden.

Der vorliegende Text entstand aus einer Reihe von Vorlesungen über verschie­ dene Aspekte der Extremwertstatistik, die ich seit 1984 an der RWTH Aachen sowie der Universität Oldenburg gehalten habe. Er ist als Einstieg in einen Teilbereich der Stochastik konzipiert, der gerade in den letzten Jahren einer außergewöhnlich starken Entwicklung unterworfen war, was nicht nur an der rasch wachsenden Zahl von Originalarbeiten, sondern auch an der Publikation einiger neuerer Lehrbücher - vor allem aus dem englischsprachigen Rau- besonders deutlich wird. Hieraus erwuchs das Bedürfnis, einerseits einen Be­ gleittext zu Vorlesungen gleichen Inhalts zur Verfügung zu haben, der den Stoff in gelockerter Form aufbereitet, andererseits aber auch soviel vertiefen­ des Material bietet, daß der Leser rasch an die Fragestellungen und das Ni­ veau der aktuellen Forschung herangeführt wird, so daß der Text ebenfalls als Begleitlektüre zu Seminaren über Themen aus der Extremwertstatistik ge­ eignet ist. Neben der Behandlung der mathematischen Theorie schien es mir darüberhinaus wichtig, den praktischen Bezug der hier behandelten Fragestel­ lungen anhand einiger ausgewählter Beispiele sowie eines kurzen Computer­ programmes deutlich herauszustellen, wodurch Teile des Textes z. B. auch als erste Orientierung im Ingenieurbereich dienen können. Am Ende jedes größeren Abschnitts habe ich "Anmerkungen zum Text" sowie "Anmerkungen zur Literatur" eingefügt, worin einerseits auf die dem jeweili­ gen Text zugrundeliegenden Quellen, andererseits aber auch auf weiterführen­ des Material verwiesen wird. Die zum Verständnis benötigten mathematischen Vorkenntnisse sind für ver­ schiedene Teile des Textes unterschiedlich.

Der vorliegende Text basiert in seinen Grundzügen auf dem Manuskript zu einer Vorlesung über Erneuerungstheorie, die ich im Wintersemester 1986/87 und im Sommersemester 1987 zunächst zwei-und dann vierstündig an der Universität Kiel abgehalten habe. Als ich im Sommer 1986 damit begann, die ersten Kapitel niederzuschreiben, schwebte mir eine Monographie gerin­ geren Umfangs vor, die im wesentlichen die Hauptsätze der Erneuerungstheorie einschließlich vollständiger Beweise sowie eine Anzahl interessanter und zugleich typischer Anwendungen umfassen sollte. Von besonderer Bedeutung erschien mir die Darstellung des seit der Wieder­ entdeckung der Koppelungsmethode in den siebziger Jahren möglichen rein probabilistischen Zugangs, der bis dahin, zumindest im Hinblick auf den Hauptsatz der Erneuerungstheorie, d. h. das Blackwellsche Erneuerungstheorem, nicht existierte. Zusätzlichen Ansporn bot die Tatsache, daß dieser Zugang offenbar noch keine Aufnahme in einschlägigen Lehrbüchern ge­ funden hatte, wie überhaupt eine Monographie größeren Umfangs über Erneuerungstheorie überraschenderweise nicht verfügbar war. Letzteres brachte mich schließlich zu dem Entschluß, meine ursprüngliche Planung zu ändern und ein Buch zu schreiben, das sowohl eine Einführung in die klassischen Resultate unter Einschluß des bereits erwähnten probabilistischen Zugangs gibt als auch jüngere Entwicklungen berücksichtigt, wobei ich hier vor allem an die Theorie Harris-rekurrenter Markov-Ketten und die Markov-Erneuerungstheorie denke. Nachdem diese Entscheidung gefallen war, erschien zum Ende meiner Vorlesung Mitte 1987 Sören Asmussens exzellentes Werk "Applied Probability and Queues ", das mich zu einem erneuten Überdenken des begonnenen Projektes bewog, indem es wichtigeTeile des zuvor von mir avisierten und bisher in Lehrbuchform nicht verfügbaren Materials enthielt.

Twenty-five years ago, Hans Blihlmann published his famous monograph Mathe­ matical Methods in Risk Theory in the series Grundlehren der Mathematischen Wis8enschaften and thus established nonlife actuarial mathematics as a recognized subject of probability theory and statistics with a glance towards economics. This book was my guide to the subject when I gave my first course on nonlife actuarial mathematics in Summer 1988, but at the same time I tried to incorporate into my lectures parts of the rapidly growing literature in this area which to a large extent was inspired by Blihlmann's book. The present book is entirely devoted to a single topic of risk theory: Its subject is the development in time of a fixed portfolio of risks. The book thus concentrates on the claim number process and its relatives, the claim arrival process, the aggregate claims process, the risk process, and the reserve process. Particular emphasis is laid on characterizations of various classes of claim number processes, which provide alternative criteria for model selection, and on their relation to the trinity of the binomial, Poisson, and negativebinomial distributions. Special attention is also paid to the mixed Poisson process, which is a useful model in many applications, to the problems of thinning, decomposition, and superposition of risk processe8, which are important with regard to reinsurance, and to the role of martingales, which occur in a natural way in canonical situations.