Distribution Theory

Gerrit van Dijk, Leiden University, The Netherlands.

• Preface 21 Definition and first properties of distributions 71.1 Test functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Support of a distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Differentiating distributions 132.1 Definition and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 The distributions x−1+ ( 6= 0,−1,−2, . . . )* . . . . . . . . . . 162.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5 Green’s formula and harmonic functions . . . . . . . . . . . . 192.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Multiplication and convergence of distributions 273.1 Multiplication with a C1 function . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3 Convergence in D0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Distributions with compact support 314.1 Definition and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Distributions supported at the origin . . . . . . . . . . . . . . 324.3 Taylor’s formula for Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.4 Structure of a distribution* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 Convolution of distributions 365.1 Tensor product of distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.2 Convolution product of distributions . . . . . . . . . . . . . . 385.3 Associativity of the convolution product . . . . . . . . . . . . 445.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.5 Newton potentials and harmonic functions . . . . . . . . . . . 455.6 Convolution equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.7 Symbolic calculus of Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.8 Volterra integral equations of the second kind . . . . . . . . . 525.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.10 Systems of convolution equations* . . . . . . . . . . . . . . . 555.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566 The Fourier transform 576.1 Fourier transform of a function on R . . . . . . . . . . . . . . 576.2 The inversion theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.3 Plancherel’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.4 Differentiability properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.5 The Schwartz space S(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.6 The space of tempered distributions S0(R) . . . . . . . . . . . 656.7 Structure of a tempered distribution* . . . . . . . . . . . . . 666.8 Fourier transform of a tempered distribution . . . . . . . . . 676.9 Paley Wiener theorems on R* . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.11 Fourier transform in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.12 The heat or diffusion equation in one dimension . . . . . . . . 757 The Laplace transform 797.1 Laplace transform of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.2 Laplace transform of a distribution . . . . . . . . . . . . . . . 807.3 Laplace transform and convolution . . . . . . . . . . . . . . . 817.4 Inversion formula for the Laplace transform . . . . . . . . . . 848 Summable distributions* 878.1 Definition and main properties . . . . . . . . . . . . . . . . . 878.2 The iterated Poisson equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888.3 Proof of the main theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898.4 Canonical extension of a summable distribution . . . . . . . . 918.5 Rank of a distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939 Appendix 969.1 The Banach-Steinhaus theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 969.2 The beta and gamma function . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Bibliography 108Index 109