Begründung der Funktionentheorie auf Alten und Neuen Wegen

Unter "Begründung der Funktionentheorie" verstehen wir die auf möglichst elementarem Weg gewonnene Darstellung einer Funktion f(z) == u(x, y) + iv(x, y) von z == x + yi durch gewöhnliche Potenzreihen, wenn über f(z) gewisse möglichst elementare Voraussetzungen gemacht werden. Diese können sehr verschiedener Art sein. Während aber wohl alle Lehrbücher der Funktionentheorie nur einen der beiden "klassi­ schen" Wege verfolgen, bei denen die Existenz der Ableitung f''(z) (GOURSAT) oder deren Existenz und Stetigkeit (CAUCHY) den Ausgangs­ punkt bildet, werden hier außer jenen beiden noch vier andere Wege bis zu dem genannten Endziel gebahnt. Einer von ihnen (MORERA. 1901, § 26) wird hauptsächlich nur aus historischem Interesse durchgeführt. Die drei anderen rühren in der vorliegenden Gestalt vom Verfasser her und gehen von geringeren Voraussetzungen aus als GOURSAT. Nur einer von ihnen war schon in der Schrift "Kurvenintegrale und Begründung der Funktionentheorie", Springer-Verlag 1948, ent· halten. Wichtige Teile der Funktionentheorie beginnen erst nach der Be­ gründung, wenn man also schon im Besitz der Potenz reihen für f (z) ist. Auf diese Teile gehen wir nicht mehr ein, da wir ja nicht ein "Lehrbuch der Funktionentheorie", sondern gewissermaßen nur den Anfang eines solchen auf sehr verschiedenen Wegen liefern wollen. Abschnitt A bringt Vorkenntnisse, die unmittelbar oder mittelbar wirklich benutzt werden, und zwar mit Beweisen der angeführten Sätze. Auch werde ausdrücklich betont, daß außer Kreisen keine gekrümmten ebenen Linien und über solche erstreckten Integrale bei uns auftreten.