Claudio Gorodski – författare

This concise and practical textbook presents the essence of the theory on smooth manifolds. A key concept in mathematics, smooth manifolds are ubiquitous: They appear as Riemannian manifolds in differential geometry; as space-times in general relativity; as phase spaces and energy levels in mechanics; as domains of definition of ODEs in dynamical systems; as Lie groups in algebra and geometry; and in many other areas. The book first presents the language of smooth manifolds, culminating with the Frobenius theorem, before discussing the language of tensors (which includes a presentation of the exterior derivative of differential forms). It then covers Lie groups and Lie algebras, briefly addressing homogeneous manifolds. Integration on manifolds, explanations of Stokes’ theorem and de Rham cohomology, and rudiments of differential topology complete this work. It also includes exercises throughout the text to help readers grasp the theory, as well as more advanced problems for challenge-oriented minds at the end of each chapter. Conceived for a one-semester course on Differentiable Manifolds and Lie Groups, which is offered by many graduate programs worldwide, it is a valuable resource for students and lecturers alike.

This concise and practical textbook presents the essence of the theory on smooth manifolds. A key concept in mathematics, smooth manifolds are ubiquitous: They appear as Riemannian manifolds in differential geometry; as space-times in general relativity; as phase spaces and energy levels in mechanics; as domains of definition of ODEs in dynamical systems; as Lie groups in algebra and geometry; and in many other areas. The book first presents the language of smooth manifolds, culminating with the Frobenius theorem, before discussing the language of tensors (which includes a presentation of the exterior derivative of differential forms). It then covers Lie groups and Lie algebras, briefly addressing homogeneous manifolds. Integration on manifolds, explanations of Stokes’ theorem and de Rham cohomology, and rudiments of differential topology complete this work. It also includes exercises throughout the text to help readers grasp the theory, as well as more advanced problems for challenge-oriented minds at the end of each chapter. Conceived for a one-semester course on Differentiable Manifolds and Lie Groups, which is offered by many graduate programs worldwide, it is a valuable resource for students and lecturers alike.

Dieses prägnante und praxisorientierte Lehrbuch präsentiert die Grundlagen der Mathematik auf glatten Mannigfaltigkeiten. Glatte Mannigfaltigkeiten sind ein Schlüsselkonzept in der Mathematik und weit verbreitet: Sie treten auf als Riemannsche Mannigfaltigkeiten in der Differentialgeometrie; als Raum-Zeiten in der Allgemeinen Relativitätstheorie; als Phasenräume und Energieniveaus in der Mechanik; als Definitionsbereiche von gewöhnlichen Differentialgleichungen in dynamischen Systemen; als Lie-Gruppen in Algebra und Geometrie; und in vielen anderen Bereichen.Das Buch präsentiert zunächst die grundlegenden Begriffe und Sätze zu glatten Mannigfaltigkeiten und kulminiert mit dem Frobenius-Theorem, bevor es Tensoren auf Mannigfaltigkeiten behandelt (einschließlich einer Darstellung der äußeren Ableitung von Differentialformen).Es behandelt dann Lie-Gruppen und Lie-Algebren und geht kurz auf homogene Mannigfaltigkeiten ein.Integration auf Mannigfaltigkeiten, Erläuterungen des Stokes-Theorems und der de-Rham-Kohomologie sowie Grundlagen der Differentialtopologie vervollständigen dieses Werk. Es enthält auch Übungen im gesamten Text, um den Lesern zu helfen, die Theorie zu verstehen, sowie anspruchsvollere Probleme für diejenigen, die Herausforderungen mögen, am Ende jedes Kapitels. Konzipiert für einen einsemestrigen Kurs über differentielle Mannigfaltigkeiten und Lie-Gruppen, der von vielen Graduiertenprogrammen weltweit angeboten wird, ist es eine wertvolle Ressource für Studierende und Dozenten gleichermaßen.Die Übersetzung wurde mit Hilfe von künstlicher Intelligenz durchgeführt. Eine anschließende menschliche Überarbeitung erfolgte vor allem in Bezug auf den Inhalt.