Joachim Hilgert – författare

This self-contained text is an excellent introduction to Lie groups and their actions on manifolds. The authors start with an elementary discussion of matrix groups, followed by chapters devoted to the basic structure and representation theory of finite dimensinal Lie algebras. They then turn to global issues, demonstrating the key issue of the interplay between differential geometry and Lie theory. Special emphasis is placed on homogeneous spaces and invariant geometric structures. The last section of the book is dedicated to the structure theory of Lie groups. Particularly, they focus on maximal compact subgroups, dense subgroups, complex structures, and linearity.

This text is accessible to a broad range of mathematicians and graduate students; it will be useful both as a graduate textbook and as a research reference.

Dieses Buch ist eine Begleitlektüre zum ersten Jahr des Mathematikstudiums und darüber hinaus. Im Mittelpunkt stehen Motivation und Erläuterung der zentralen Begriffsbildungen anhand von Beispielen und exemplarischen Resultaten.

Ausgehend von den elementarsten und historisch frühesten mathematischen Konzepten des Messens und Zählens werden Sie zu modernen Begriffen wie Metriken, Maßen und Vektorräumen geführt, die dann zur Lösung konkreter Probleme einsetzt werden. Die Stoffauswahl ist so angelegt, dass die Querverbindungen zwischen den unterschiedlichen Anfängervorlesungen, die im regulären Studienbetrieb oft eher ausgeblendet werden, deutlich hervortreten.

Das Buch richtet sich an Leser, die mit der elementaren Mengenlehre als Sprache zur Beschreibung von mathematischen Inhalten sowie mit den reellen Zahlen als mathematischem Konzept vertraut sind.

Das entspricht etwa dem Kenntnisstand, der von Studierenden der Mathematik nach etwa einen Monat Studium erwartet wird.

In diesem Arbeitsbuch zum  Lesebuch Mathematik für das erste Studienjahr finden sich Übungsaufgaben und ergänzende Beispiele zu den vorgestellten Themenbereichen.

Viele der angebotenen Aufgaben sind Standardproblemstellungen in den Übungen des ersten Studienjahrs. Das Arbeitsbuch kann daher parallel und ergänzend  zu den Übungen im Vorlesungsbetrieb verwendet werden. Es  bietet zu allen Aufgaben vollständige Lösungsvorschläge.

Für interessierte Leser sind die im Lesebuch nicht vollständig ausgeführten Beweise nachgetragen. Dadurch wird eine lückenlose Darstellung des präsentierten Materials gewährleistet. Darüber hinaus enthält das Buch eine Vielzahl ergänzender Beispiele und Übungsaufgaben mit Lösungsvorschlägen.

Um die Bearbeitung des Arbeitsbuchs im Selbststudium zu erleichtern, sind die Lösungsvorschläge für die Übungen jeweils in einem separaten Abschnitt gesammelt.

​In diesem Ratgeber finden Sie Informationen, die Ihnen bei der Beantwortung der Frage helfen können, ob Sie Mathematik studieren sollen, und wenn ja, an welcher Universität und mit welcher Schwerpunktsetzung. Im Mittelpunkt steht eine realistische und konkrete Beschreibung des Studienablaufs und der gestellten Anforderungen. Die Beschreibung der einzelnen Studienelemente wird durch konstruktive Ratschläge zur Bewältigung der jeweiligen Aufgaben und der verfügbaren Unterstützungsangebote ergänzt. Zur leichteren Orientierung gibt es im letzten Kapitel noch einen groben Überblick über die mathematischen Themenfelder, die in einem Mathematikstudium behandelt werden.

Sie studieren Mathematik im ersten oder zweiten Semester? Das Verstehen der Vorlesungen und das Lösen der Übungsaufgaben fällt Ihnen nicht unbedingt leicht? Sie wissen nicht genau, ob Sie fit für die Prüfung sind?

Dann kann Ihnen dieses Arbeitsbuch rund um grundlegende Inhalte und Studiertechniken im Mathematikstudium helfen.

Die Autoren greifen tief in die Know-How-Kiste und zeigen, wie Mathematik erfolgreich studiert werden kann. Basierend auf authentischen Verständnisproblemen von Studierenden erhalten Sie mit diesem Buch ein reichhaltiges Angebot an Materialien zu ausgewählten Themengebieten.

Neben erprobten Texten, umfangreichen Beispielen sowie zahlreichen Übungsaufgaben und Kontrollfragen (allesamt mit Lösungen) finden Sie konkrete Hinweise und Konzepte zum Lesen mathematischer Texte, zum Verfassen dieser und zum Überprüfen des eigenen Lernstandes.

Aus dem Inhalt:

Dieses Buch richtet sich an Studierende der Mathematik, die die Anfängervorlesungen in Analysis und Linearer Algebra gemeistert haben. Es ist gedacht als Orientierungshilfe für die Vielzahl an spezialisierten  Fachveranstaltungen in den mittleren und höheren Semestern. Ein wichtiges Anliegen ist die Darstellung von Vergleichsmöglichkeiten und Ähnlichkeiten  zwischen mathematischen Disziplinen. Das organisierende Prinzip ist der Begriff der mathematischen Struktur, der sich durch alle Teilgebiete der Mathematik zieht.

Die Inhalte,  an denen die verschiedenen Typen von Strukturen exemplarisch erläutert werden, decken curriculare Anforderungen insbesondere aus der Algebra und der Geometrie (differentiell und algebraisch) ab. Die Diskussion von Vergleichsmöglichkeiten enthält aber auch Einführungen in die Kategorientheorie und die Garbentheorie, deren Bedeutung in der modernen Mathematik eine stärkere Verankerung in den Curricula nahelegt.   

Dieses Buch versteht sich als Reiseführer in das Land der Mathematik. Es informiert unter anderem über die Regionen dieses Landes (Algebra, Geometrie, Analysis, Stochastik, ...), über seine Geschichte, bedeutende Krisen und Entwicklungslinien, Beziehung zu benachbarten Gebieten, Kultur und Gepflogenheiten (Modellbildung, das Phänomen des Beweises, Anwendungen, ...) und seine Bewohner, die Mathematiker.

Für Abiturienten bietet dieses Buch eine umfassende Orientierung über das Reiseziel Mathematik. Angehenden Studierenden der Mathematik eröffnet die kompakte Darstellung einen Überblick über die Gesamtheit ihres Studienfachs.

Dieses Buch richtet sich an Studierende der Mathematik, die die Anfängervorlesungen in Analysis und Linearer Algebra gemeistert haben. Es ist gedacht als Orientierungshilfe für die Vielzahl an spezialisierten Fachveranstaltungen in den mittleren und höheren Semestern. Ein wichtiges Anliegen ist die Darstellung von Vergleichsmöglichkeiten und Ähnlichkeiten zwischen mathematischen Disziplinen. Das organisierende Prinzip ist der Begriff der mathematischen Struktur, der sich durch alle Teilgebiete der Mathematik zieht.

This textbook is intended to be accessible to any second-year undergraduate in mathematics who has attended courses on basic real analysis and linear algebra. It is meant to help students to appreciate the diverse specialized mathematics courses offered at their universities. Special emphasis is on similarities between mathematical fields and ways to compare them. The organizing principle is the concept of a mathematical structure which plays an important role in all areas of mathematics.

The mathematical content used to explain the structural ideas covers in particular material that is typically taught in algebra and geometry courses. The discussion of ways to compare mathematical fields also provides introductions to categories and sheaves, whose ever-increasing role in modern mathematics suggests a more prominent role in teaching.

The book is the English translation of the second edition of “Mathematische Strukturen” (Springer, 2024) written in German. The translation was done with the help of artificial intelligence. A subsequent human revision was done primarily in terms of content.