Karl Kuhlemann – författare

Wie kann es unendlich kleine reelle und unendlich große natürliche Zahlen geben? Und wie können wir solche Zahlen für die Lehre der Analysis nutzen und gleichzeitig Reflexionen über die Grundlagen der Mathematik anregen? Dieses Werk gibt detailliert Antworten und zeigt, dass die Nonstandard-Analysis nicht nur für die Lehre, sondern auch für das Verständnis der Standard-Analysis und der Mathematik insgesamt außerordentlich wertvoll ist.

Currently, nonstandard analysis is barely considered in university teaching. The author argues that nonstandard analysis is valuable not only for teaching, but also for understanding standard analysis and mathematics itself. An axiomatic approach wich pays attention to different language levels (for example, in the distinction between sums of ones and the natural numbers of the theory) leads naturally to a nonstandard theory. For motivation historical ideas of Leibniz can be taken up. The book contains an elaborated concept that follows this approach and is suitable, for example, as a basis for a lecture-supplementary course. The monograph part presents all major approaches to nonstandard analysis and discusses logical, model-theoretic, and set-theoretic investigations to reveal possible mathematical reasons that may lead to reservations about nonstandard analysis. Also various foundational positions as well as ontological, epistemological, and application-related issues are addressed. It turns out that the one-sided preference for standard analysis is justified neither from a didactic, mathematical nor philosophical point of view. Thus, the book is especially valuable for students and instructors of analysis who are also interested in the foundations of their subject.

In diesem Buch wird der Weg von den infinitesimalen Größen bei Leibniz über die Grenzwerte zu den infinitesimalen Zahlen der Nichtstandardanalysis skizziert. Die begrifflichen Probleme der Grenzwerte werden diskutiert und der Einstieg in die Analysis mit infinitesimalen und infiniten Zahlen vorgestellt.