Leonardo Rendon Arbelaez – författare
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Las leyes de conservación son generalmente usadas en modelos que involucran principios de conservación (leyes físicas), tales como conservación de masa, momento lineal y de energía. Algunos ejemplos importantes de tales sistemas se encuentran en mecánica de fluidos. En una dimensión espacial, un Sistema cuasilineal de primer orden de leyes de conservación es un sistema de ecuaciones diferenciales parciales de la forma, donde es un vector de estado y es una función suave llamada función de flujo asociada al sistema. El problema de Riemann es un problema de valor inicial en el cual la condición inicial consiste de dos estados constantes separados por una discontinuidad en algún punto. El trabajo pionero para existencia de soluciones para el problema de Riemann fue obtenido en 1860 por B. Riemann para el sistema isentrópico de Euler en dinámica de gases. El trabajo de Riemann proporciona la motivación para los recientes estudios de existencia de soluciones para sistemas cuasilineales de primer orden de leyes de conservación, incluyendo soluciones medibles acotadas (discontinuas) y el supuesto de condiciones de entropía. Las soluciones discontinuas son una dificultad matemática porque claramente no satisfacen las ecuaciones diferenciales parciales en el sentido clásico y se necesita definir qué significa una solución para leyes de conservación en este caso. Otra dificultad matemática es la posible no unicidad de soluciones para leyes de conservación con el mismo dato inicial. Es claro que, si las leyes de conservación sirven para modelar el mundo real, entonces solo una solución es físicamente relevante. La unicidad de soluciones para el caso escalar o para algunos sistemas de leyes de conservación en una dimensión espacial puede ser obtenida usando condiciones de entropía. En general, para sistemas hiperbólicos de leyes de conservación, la unicidad de soluciones es un problema abierto. Las soluciones del problema de Riemann tienen muchas aplicaciones. Una de ellas es para comprender la estructura de ondas de leyes de conservación hiperbólicas. Otro importante uso del problema de Riemann es para resolver el problema de Cauchy aplicando localmente el problema de Riemann y reduciendo el problema de Cauchy a una sucesión de soluciones de problemas de Riemann locales. Este libro fue desarrollado a partir del "Seminario de Ecuaciones diferenciales y leyes de conservación" dirigido por el profesor Leonardo Rendón de la Universidad Nacional de Colombia junto con los profesores Richard De la cruz y Juan Juajibioy de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia.
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Desde el punto de vista matemático, el libro Elementos de mecánica matemática proporciona un tratamiento detallado y riguroso de algunos aspectos de la Mecánica de Medios Continuos. La obra constituye un puente entre la física, la mecánica y las matemáticas que será de gran utilidad para ingenieros, físicos, matemáticos y otros profesionales que deseen abordar, desde sus respectivos saberes, este tipo de problemas; así mismo, es notable la manera sistemática e innovadora como se presenta el tema. En la literatura mundial es relativamente escaso el material bibliográfico disponible que aborda estas materias, entre esas publicaciones se destacan trabajos de algunos de los autores de este libro.Estas notas de clase surgen con charlas y seminarios dictados por el primer autor a profesores y estudiantes del Departamento de Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia en Bogotá. Fueron complementadas con la visita del primer autor al Departamento y ampliadas con diversas actividades académicas realizadas por los autores en un periodo de tres años. Los autores manifestamos nuestro agradecimiento a la profesora Myriam Leonor Campos Flórez, directora del Departamento, por m constante apoyo; igualmente, al profesor Ignacio Mantilla, Decano de la Facultad de Ciencias, por su colaboración con los intercambios académicos. Al estudiante John Freddy Mateus le manifestamos nuestro agradecimiento por las ayudas técnicas y al profesor Héctor Mora Escobar por algunas sugerencias y correcciones. Igualmente nos gustaría hacer un reconocimiento especial a los evaluadores de estas notas por sus valiosas sugerencias y comentarios. Con el Profesor Roberto Martínez tuvimos la oportunidad de realizar una fructífera comunicación personal.