Otto Forster – författare

This book grew out of lectures on Riemann surfaces which the author gave at the universities of Munich, Regensburg and Munster. Its aim is to give an introduction to this rich and beautiful subject, while presenting methods from the theory of complex manifolds which, in the special case of one complex variable, turn out to be particularly elementary and transparent. The book is divided into three chapters. In the first chapter we consider Riemann surfaces as covering spaces and develop a few basics from topology which are needed for this. Then we construct the Riemann surfaces which arise via analytic continuation of function germs. In particular this includes the Riemann surfaces of algebraic functions. As well we look more closely at analytic functions which display a special multi-valued behavior. Examples of this are the primitives of holomorphic i-forms and the solutions of linear differential equations. The second chapter is devoted to compact Riemann surfaces. The main classical results, like the Riemann-Roch Theorem, Abel's Theorem and the Jacobi inversion problem, are presented. Sheaf cohomology is an important technical tool. But only the first cohomology groups are used and these are comparatively easy to handle. The main theorems are all derived, following Serre, from the finite dimensionality of the first cohomology group with coefficients in the sheaf of holomorphic functions. And the proof of this is based on the fact that one can locally solve inhomogeneous Cauchy­ Riemann equations and on Schwarz' Lemma.

This book grew out of lectures on Riemann surfaces which the author gave at the universities of Munich, Regensburg and Munster. Its aim is to give an introduction to this rich and beautiful subject, while presenting methods from the theory of complex manifolds which, in the special case of one complex variable, turn out to be particularly elementary and transparent. The book is divided into three chapters. In the first chapter we consider Riemann surfaces as covering spaces and develop a few basics from topology which are needed for this. Then we construct the Riemann surfaces which arise via analytic continuation of function germs. In particular this includes the Riemann surfaces of algebraic functions. As well we look more closely at analytic functions which display a special multi-valued behavior. Examples of this are the primitives of holomorphic i-forms and the solutions of linear differential equations. The second chapter is devoted to compact Riemann surfaces. The main classical results, like the Riemann-Roch Theorem, Abel''s Theorem and the Jacobi inversion problem, are presented. Sheaf cohomology is an important technical tool. But only the first cohomology groups are used and these are comparatively easy to handle. The main theorems are all derived, following Serre, from the finite dimensionality of the first cohomology group with coefficients in the sheaf of holomorphic functions. And the proof of this is based on the fact that one can locally solve inhomogeneous Cauchy­ Riemann equations and on Schwarz'' Lemma.

This book grew out of lectures on Riemann surfaces which the author gave at the universities of Munich, Regensburg and Munster. Its aim is to give an introduction to this rich and beautiful subject, while presenting methods from the theory of complex manifolds which, in the special case of one complex variable, turn out to be particularly elementary and transparent. The book is divided into three chapters. In the first chapter we consider Riemann surfaces as covering spaces and develop a few basics from topology which are needed for this. Then we construct the Riemann surfaces which arise via analytic continuation of function germs. In particular this includes the Riemann surfaces of algebraic functions. As well we look more closely at analytic functions which display a special multi-valued behavior. Examples of this are the primitives of holomorphic i-forms and the solutions of linear differential equations. The second chapter is devoted to compact Riemann surfaces. The main classical results, like the Riemann-Roch Theorem, Abel's Theorem and the Jacobi inversion problem, are presented. Sheaf cohomology is an important technical tool. But only the first cohomology groups are used and these are comparatively easy to handle. The main theorems are all derived, following Serre, from the finite dimensionality of the first cohomology group with coefficients in the sheaf of holomorphic functions. And the proof of this is based on the fact that one can locally solve inhomogeneous Cauchy­ Riemann equations and on Schwarz' Lemma.

Das vorliegende Buch stellt den dritten Teil eines Analysis-Kurses ftir Studenten der Mathe­ matik und Physik dar und umfaßt die Integralrechnung im Rn mit Anwendungen. Die mehrdimensionale Integration ist wahrscheinlich innerhalb der mathematischen Grund­ vorlesungen das unangenehmste Stoffgebiet. Das hat verschiedene Gründe. Einerseits bleibt die Integrationstheorie unbefriedigend, wenn nicht das Lebesguesche Integral eingeführt wird. Dessen Einführung verbraucht aber meist soviel Zeit, daß am Schluß der Vorlesung der Student nicht in der Lage ist, die Oberfläche einer Kugel auszurechnen, ganz zu schwei­ gen von der Kenntnis der Integralsätze. Will man aber andererseits die Integralsätze in ihrer heutigen eleganten Form darstellen, so muß der ganze Differentialformenkalkül auf Mannig­ faltigkeiten eingeführt werden, was wiederum kaum Zeit ftir die maßtheoretische Seite der Integrationstheorie und ftir Anwendungen läßt, von denen es vor allem in der klassischen Analysis so viele gibt und die heute immer mehr in Vergessenheit geraten. Für dieses Dilemma konnte auch im vorliegenden Buch keine Ideal-Lösung gefunden wer­ den. Es wurde aber versucht, zu einem vernünftigen Kompromiß zu kommen. Insbesondere wird der ermüdende systematische Aufbau der Theorie immer wieder durch Paragraphen unterbrochen, in denen Beispielmaterial bereitgestellt oder Anwendungen besprochen werden.

Dieses Buch ist entstanden aus der Ausarbeitung einer Vorlesung, die ich im WS 1970/71 für Studenten der Mathematik und Physik des ersten Semesters an der Universität Regensburg gehalten habe. Diese Ausarbeitung wurde später von verschiedenen Kollegen als Begleittext zur Vorlesung benutzt. Der Inhalt umfaßt im wesentlichen den traditionellen Lehrstoff der Analysis· Kurse des ersten Semesters an deutschen Universitäten und Technischen Hoch­ schulen. Bei der Stoffauswahl wurde angestrebt, dem konkreten mathematischen Inhalt, der auch für die Anwendungen wichtig ist, vor einem großen abstrakten Begriffsapparat den Vorzug zu geben und dabei gleichzeitig in systematischer Weise möglichst einfach und schnell zu den grundlegenden Begriffen (Grenzwert, Stetigkeit, Differentiation, Riemannsches Integral) vorzudringen und sie mit vielen Beispielen zu illustrieren. Deshalb wurde auch die Einführung der elemen­ taren Funktionen vor die Abschnitte über Differentiation und Integration gezogen, um dort genügend Beispielmaterial zur Verfligung zu haben. Auf die numerische Seite der Analysis (Approximation von Größen, die nicht in endlich vielen Schritten berechnet werden können) wird an verschiedenen Stellen eingegangen, um den Grenzwertbegriff konkreter zu machen. Der Umfang des Stoffes ist so angelegt, daß er in einer vierstündigen Vorlesung in einem Wintersemester durchgenommen werden kann. Die einzelnen Para­ graphen entsprechen je nach Länge einer bis zwei Vorlesungs-Doppelstunden. Bei Zeitmangel können die §§ 17 und 23 sowie Teile der §§ 16 (Konvexität) und 20 (Gamma-Funktion) weggelassen werden. Für seine Unterstützung möchte ich mich bei Herrn D. Leistner bedanken. Er hat die seinerzeitige Vorlesungs-Ausarbeitung geschrieben, beim Lesen derKorrek­ turen geholfen und das Namens-und Sachverzeichnis erstellt. o.

Seit dem Erscheinen meines Buches Analysis I sind wiederholt Anfragen ge­ kommen, doch Lösungen zu den Übungsaufgaben herauszugeben. Ich stand dem immer skeptisch gegenüber. Das Lösen von Übungsaufgaben zu den Anfängervorlesungen ist ein unentbehrlicher Bestandteil des Mathematik-Stu­ diums. Das Vorliegen von schriftlichen Lösungen verführt aber dazu, es selbst nicht hart genug zu versuchen und zu früh in den Lösungen nachzuschauen. Außerdem kann eine gedruckte Lösung nicht die Besprechung der Aufgaben in einer Übungsgruppe ersetzen, in der der Tutor (im allerdings nicht immer erreichten Idealfall) auf die verschiedenen Lösungsmöglichkeiten und die ge­ machten Fehler eingehen und bei Verständnisschwierigkeiten individuell helfen kann. Andererseits ist der Bedarf an Übungsmaterial mit nachprüfbaren Lösungen für das Selbststudium (z.B. bei Prüfungsvorbereitungen) nicht von der Hand zu weisen. So wurde mit dem vorliegenden Aufgabenbuch ein Kompromiß versucht: Zu ausgewählten Aufgaben wurden Lösungen ausgearbeitet und es wurden auch neue Aufgaben hinzugefügt, so daß genügend viele ungelöste Aufgaben als Herausforderung für den Leser übrig bleiben.

Der vorliegende Band stellt den zweiten Teil eines Übungsbuches zur Analysis dar. Wie im ersten Band ist das Buch in einen Aufgaben- und Lösungsteil unter­ gliedert. Die Aufgaben stammen vorwiegend aus dem Buch "Analysis 2" von 0. Forster, jedoch auch die zusätzlichen Aufgaben setzen stofflich nicht mehr Wissen voraus. Die Lösungen zu den einzelnen Aufgaben sind weitgehend sehr ausführlich dargestellt und an die Bücher ,,Analysis 1" und ,,Analysis 2" (im folgenden mit An. 1 und An. 2 zitiert) von 0. Forster angelehnt, so daß sie auch ohne zusätz­ liche Literatur zu verstehen sind. Ist zu einer Aufgabe keine Lösung enthalten, so wurde sie, je nach Schwierigkeitsgrad, mit einer ausführlichen Anleitung versehen. Sicherlich wird dieses Buch nicht fehlerfrei sein und zu einigen Aufgaben gibt es kürzere bzw. elegantere Lösungen, doch ich hoffe, daß der Leser mit diesem Buch nicht den Spaß verliert, selbst mathematische Aufgaben zu lösen. Denn man sollte sich in der Regel, bevor man eine Lösung zu einer Aufgabe in ei­ nem Buch nachliest, ausgiebig mit ihr beschäftigt haben und versucht haben, selbst eine Lösung zu finden. Schließlich möchte ich noch einige Danksagungen aussprechen: • Herrn Professor 0. Forster, der mit seinen Büchern zur Analysis dieses Buch erst möglich gemacht hat. • Herrn Professor Dr. W. Kühne!, bei dem ich die Grundvorlesungen zur Analysis gehört habe. • Für die Mithilfe beim Korrekturlesen danke ich Herrn Kühn und Herrn Westermann. • Dem Vieweg-Verlag und insbesondere Frau Schrnickler-Hirzebruch für die Herausgabe des Buches.

Seit dem Erscheinen meines Buches Analysis 1 sind wiederholt Anfragen ge­ kommen, doch Lösungen zu den Übungsaufgaben herauszugeben. Ich stand dem immer skeptisch gegenüber. Das Lösen von Übungsaufgaben zu den An­ fangervorlesungen ist ein unentbehrlicher Bestandteil des Mathematik-Stu­ diums. Das Vorliegen von schriftlichen Lösungen verführt aber dazu, es selbst nicht hart genug zu versuchen und zu früh in den Lösungen nachzuschauen. Außerdem kann eine gedruckte Lösung nicht die Besprechung der Aufgaben in einer Übungsgruppe ersetzen, in der der Tutor (im allerdings nicht immer erreichten Idealfall) auf die verschiedenen Lösungsmöglichkeiten und die ge­ machten Fehler eingehen und bei Verständnisschwierigkeiten individuell hel­ fen kann. Andererseits ist der Bedarf an Übungsmaterial mit nachprüfbaren Lösungen für das Selbststudium (z.B. bei Prüfungsvorbereitungen) nicht von der Hand zu weisen. So wurde mit dem vorliegenden Aufgabenbuch ein Komprorniß versucht: Zu ausgewählten Aufgaben wurden Lösungen ausgearbeitet und es wurden auch neue Aufgaben hinzugefügt, so daß genügend viele ungelöste Aufgaben als Herausforderung für den Leser übrig bleiben.

Der vorliegende Band stellt den zweiten Teil eines Übungsbuches zur Analysis dar. Wie im ersten Band ist das Buch in einen Aufgaben-und Lösungsteil unter­ gliedert. Die Aufgaben stammen vorwiegend aus dem Buch "Analysis 2" von O. Forster, jedoch auch die zusätzlichen Aufgaben setzen stofflich nicht mehr Wissen voraus. Die Lösungen zu den einzelnen Aufgaben sind weitgehend sehr ausführlich dargestellt und an die Bücher "Analysis 1" und ,,Analysis 2" (im folgenden mit An. 1 und An. 2 zitiert) von O. Forster angelehnt, so daß sie auch ohne zusätz­ liche Literatur zu verstehen sind. Ist zu einer Aufgabe keine Lösung enthalten, so wurde sie, je nach Schwierigkeitsgrad, mit einer ausführlichen Anleitung versehen. Sicherlich wird dieses Buch nicht fehlerfrei sein und zu einigen Aufgaben gibt es kürzere bzw. elegantere Lösungen, doch ich hoffe, daß der Leser mit diesem Buch nicht den Spaß verliert, selbst mathematische Aufgaben zu lösen. Denn man sollte sich in der Regel, bevor man eine Lösung zu einer Aufgabe in ei­ nem Buch nachliest, ausgiebig mit ihr beschäftigt haben und versucht haben, selbst eine Lösung zu finden. Schließlich möchte ich noch einige Danksagungen aussprechen: • Herrn Professor O. Forster, der mit seinen Büchern zur Analysis dieses Buch erst möglich gemacht hat. • Herrn Professor Dr. W. Kühnei, bei dem ich die Grundvorlesungen zur Analysis gehört habe. • Für die Mithilfe beim Korrekturlesen danke ich Herrn Kühn und Herrn Westermann. • Dem Vieweg-Verlag und insbesondere Frau Schmickler-Hirzebruch für die Herausgabe des Buches.

Der vorliegende Band stellt den zweiten Teil eines Analysis-Kurses für Studenten der Mathematik und Physik dar. Das erste Kapitel befaßt sich mit der Differentialrechnung von Funktionen mehrerer reeller Veränderlichen. Nach einer Einführung in die topalogischen Grundbegriffe werden Kurven im IRn, partielle Ableitungen, totale Differenzierbarkeit, Taylorsche Formel, Maxima und Minima, implizite Funktionen und parameterabhängige Integrale behandelt. Das zweite Kapitel gibt eine kurze Einführung in die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Nach dem Beweis des allgemeinen Existenz- und Eindeutigkeitssatzes und der Besprechung der Methode der Trennung der Variablen wird besonders auf die Theorie der linearen Differentialgleichungen eingegangen. Wie im ersten Band wurde versucht, allzu große Abstraktionen zu vermeiden und die allgemeine Theorie durch viele konkrete Beispiele zu erläutern, insbesondere solche, die für die Physik relevant sind. Bei der Bemessung des Stoffumfangs wurde berücksichtigt, daß die Analysis 2 meist in einem Sommersemester gelesen wird, in dem weniger Zeit zur Verfugung steht als in einem Wintersemester. Wegen der Kürze des Sommersemesters ist nach meiner Meinung eine befriedigende Behandlung der mehrdimensionalen Integration im 2. Semester nicht möglich, die besser dem 3. Semester vorbehalten bleibt. Dies Buch ist entstanden aus der Ausarbeitung einer Vorlesung, die ich im Sommer­ semester 1971 an der Universität Regensburg gehalten habe. Die damalige Vor­ lesungs-Ausarbeitung wurde von Herrn R. Schimpl angefertigt, dem ich hierfür meinen Dank sage.

Dieses seit über 30 Jahren bewährte Standardwerk ist gedacht als Begleittext zur Analysis-Vorlesung des ersten Semesters für Mathematiker, Physiker und Informatiker. Bei der Darstellung wurde besonderer Wert darauf gelegt, in systematischer Weise, aber ohne zu große Abstraktionen zu den wesentlichen Inhalten vorzudringen und sie mit vielen konkreten Beispielen zu illustrieren. An verschiedenen Stellen wurden Bezüge zur Informatik hergestellt. Einige numerische Beispiele wurden durch Programm-Codes ergänzt, so dass die Rechnungen direkt am Computer nachvollzogen werden können. Die vorliegende 11. Auflage wurde um einige Aufgaben und Beispiele erweitert.

Dieses Buch ist als Ergänzung zu dem Lehrbuch Analysis 1 von Otto Forster gedacht. Zu den ausgewählten Aufgaben wurden Lösungen ausgearbeitet, manchmal auch nur Hinweise oder bei Rechenaufgaben die Ergebnisse, so dass genügend viele ungelöste Aufgaben als Herausforderung für den Leser übrig bleiben. Das Buch unterstützt Studierende der Mathematik und Physik der ersten Semester beim Selbststudium (z.B. bei Prüfungsvorbereitungen). Die vorliegende 6. Auflage wurde um einige neue Aufgabe und Lösungen erweitert.

Dieses Übungsbuch ist als Ergänzung zu dem Lehrbuch Analysis 2 von Otto Forster gedacht. Die Lösungen zu den einzelnen Aufgaben sind weitgehend sehr ausführlich dargestellt, so dass sie auch ohne zusätzliche Literatur zu verstehen sind. Ist zu einer Aufgabe keine Lösung enthalten, so wurde sie - je nach Schwierigkeitsgrad - mit einer ausführlichen Anleitung versehen. Das Buch unterstützt Studierende der Mathematik und Physik der ersten Semester beim Selbststudium (zum Beispiel bei Prüfungsvorbereitungen). Die vorliegende Auflage enthält einige neue Aufgaben und Lösungen.

Dieses Übungsbuch ist als Ergänzung zu dem Lehrbuch Analysis 2 von Otto Forster gedacht. Die Lösungen zu den einzelnen Aufgaben sind weitgehend sehr ausführlich dargestellt, so dass sie auch ohne zusätzliche Literatur zu verstehen sind. Ist zu einer Aufgabe keine Lösung enthalten, so wurde sie - je nach Schwierigkeitsgrad - mit einer ausführlichen Anleitung versehen. Das Buch unterstützt Studierende der Mathematik und Physik der ersten Semester beim Selbststudium (zum Beispiel bei Prüfungsvorbereitungen). Die vorliegende Auflage enthält einige neue Aufgaben und Lösungen.

Der vorliegende Band stellt den zweiten Teil eines Analysis-Kurses für Studierende der Mathematik und Physik im ersten Studienjahr dar und beschäftigt sich mit der mehrdimensionalen Differentialrechnung sowie mit gewöhnlichen Differentialgleichungen.Bei der Darstellung wurde angestrebt, allzu große Abstraktionen zu vermeiden und die Theorie durch viele konkrete Beispiele zu erläutern, insbesondere solche, die für die Physik relevant sind. Das Buch enthält zahlreiche Übungsaufgaben.  Die Neuauflage wurde durch einige neue Abbildungen mit erläuterndem Text ergänzt. Das zugehörige Übungsbuch mit Lösungen unterstützt die Studierenden beim Selbststudium (zum Beispiel bei Prüfungsvorbereitungen).

Das Buch gibt eine Einführung in die Zahlentheorie bis hin zu den quadratischen Zahlkörpern. Dabei wird durchgehend auch der algorithmische Aspekt betrachtet. So werden Existenzsätze (z.B. für die Darstellung von Primzahlen der Form p=4n+1 als Summe von zwei Quadratzahlen) stets durch Algorithmen zur Konstruktion ergänzt. Neben den klassischen Inhalten der elementaren Zahlentheorie werden in dem Buch u.a. auch die Multiplikation großer ganzer Zahlen mittels der schnellen Fourier-Transformation sowie Faktorisierung ganzer Zahlen mit elliptischen Kurven behandelt.Für die Neuauflage wurden bekannt gewordene Fehler der ersten Auflage korrigiert und an mehreren Stellen Umarbeitungen vorgenommen. Außerdem gibt es neue Abschnitte über die Faktorisierung mit dem Quadratischen Sieb, den Diskreten Logarithmus (der in der Kryptographie eine große Rolle spielt) sowie über den deterministischen AKS-Primzahltest mit polynomialer Laufzeit. Damit der Leser die Algorithmen auf seinem Laptop oder PC auch konkret testen kann, werden die Algorithmen in einem pascalähnlichen Code für den vom Autor entwickelten Multipräzisions-Interpreter ARIBAS beschrieben, der zum kostenlosen Download zur Verfügung steht.

Dieses seit vier Jahrzehnten bewährte Standardwerk ist gedacht als Begleittext zur Analysis-Vorlesung des ersten Semesters für Mathematiker, Physiker und Informatiker. Bei der Darstellung wurde besonderer Wert darauf gelegt, in systematischer Weise, aber ohne zu große Abstraktionen zu den wesentlichen Inhalten vorzudringen und sie mit vielen konkreten Beispielen zu illustrieren. An verschiedenen Stellen wurden Bezüge zur Informatik hergestellt. Einige numerische Beispiele wurden durch Programm-Codes ergänzt, so dass die Rechnungen direkt am Computer nachvollzogen werden können. Die vorliegende 12. Auflage wurde in mehreren Details verbessert und enthält einige zusätzliche Aufgaben und Beispiele.

Der vorliegende Band stellt den dritten Teil eines Analysis-Kurses für Studierende der Mathematik und Physik dar und behandelt die Integralrechnung im IRn mit Anwendungen, insbesondere solche, die für die theoretische Physik relevant sind. Für die 8. Auflage wurde der Text sorgfältig durchgesehen sowie an einigen Stellen ergänzt und es kamen neue Abbildungen hinzu.

Der vorliegende Band stellt den dritten Teil eines Analysis-Kurses für Studierende der Mathematik und Physik dar und behandelt die Integralrechnung im IRn mit Anwendungen, insbesondere solche, die für die theoretische Physik relevant sind. Für die 8. Auflage wurde der Text sorgfältig durchgesehen sowie an einigen Stellen ergänzt und es kamen neue Abbildungen hinzu.

Dieses Buch ist als Ergänzung zu dem Lehrbuch Analysis 1 von Otto Forster gedacht. Zu den ausgewählten Aufgaben wurden Lösungen ausgearbeitet, manchmal auch nur Hinweise oder bei Rechenaufgaben die Ergebnisse, so dass genügend viele ungelöste Aufgaben als Herausforderung für den Leser übrig bleiben. Das Buch unterstützt Studierende der Mathematik und Physik der ersten Semester beim Selbststudium (z.B. bei Prüfungsvorbereitungen). Die vorliegende 7. Auflage wurde um einige neue Aufgaben und Lösungen erweitert.

Dieses Buch ist als Ergänzung zu dem Lehrbuch Analysis 1 von Otto Forster gedacht. Zu den ausgewählten Aufgaben wurden Lösungen ausgearbeitet, manchmal auch nur Hinweise oder bei Rechenaufgaben die Ergebnisse, so dass genügend viele ungelöste Aufgaben als Herausforderung für den Leser übrig bleiben. Das Buch unterstützt Studierende der Mathematik und Physik der ersten Semester beim Selbststudium (z.B. bei Prüfungsvorbereitungen). Die vorliegende 7. Auflage wurde um einige neue Aufgaben und Lösungen erweitert.