Mathematik im Fokus – serie

Das Lehrbuch stellt einen informationstheoretischen Zugang zur globalen Optimierung vor, der insbesondere die Behandlung hochdimensionaler Pobleme erlaubt. Detailliert werden Fragestellungen aus der Kommunikationstechnik und den Wirtschaftswissenschaften behandelt, wobei sowohl die mathematischen Grundlagen wie auch Implementierungsdetails behandelt werden.

Argumentieren, Begründen und Beweisen sind zentrale mathematische Tätigkeiten, deren Wichtigkeit für den Mathematikunterricht unbestritten ist. Im Zusammenhang mit Kompetenzmodellen und Bildungsstandards werden diese Begriffe allerdings unterschiedlich verwendet. Im vorliegenden Werk wird deshalb zunächst geklärt, was unter einem Beweis zu verstehen ist, welche Merkmale ein solcher aufweist, welche Typen von Beweisen zur Verfügung stehen und wie sich Beweisen zum Begründen und Argumentieren verhält. Aus kognitionspsychologischer Sicht wird aufgezeigt, wie das Denken beim mathematischen Begründen und Beweisen verläuft und in welche Formen von Gewissheit es mündet. Darauf aufbauend werden spezifische Schwierigkeiten von Schülerinnen und Schülern beim Begründen und Beweisen vorgestellt. Diesem wird unterstützendes pädagogisches und didaktisches Handeln der Lehrperson gegenübergestellt. In einem letzten Kapitel wird an einem ausführlichen Unterrichtsbeispiel gezeigt, wie eine Lehrperson diesen anspruchsvollen Prozess des Beweisens in einer Klasse anregt und fachlich unterstützt.

Heterogenität im Klassenraum bzw. der adäquate Umgang mit individuellen Schülervoraussetzungen als zentrale unterrichtliche Herausforderung für Lehrerinnen und Lehrer stellt aktuell ein in pädagogischen Zusammenhängen viel diskutiertes Thema dar. In diesem Kontext befasst sich das vorliegende Buch mit Lehrerinterventionen beim mathematischen Modellieren als spezifischem Aspekt des Umgangs mit Heterogenität im schulischen Fachunterricht. Den Kern des Werks stellt die Beschreibung einer empirischen Studie dar, in der Lehrerinterventionen bei der selbstständigkeitsorientierten Begleitung mathematischer Modellierungsprozesse von Schülerinnen und Schülern explorativ untersucht wurden. Sowohl qualitative Fallanalysen als auch Häufigkeitsauswertungen der beobachteten Lehrerinterventionen zeigen auf, dass das Intervenieren während selbstständigkeitsorientierter Lernphasen ein komplexes Unterfangen darstellt und dass Lehrpersonen über ein differenziertes Handlungsrepertoire verfügen müssen, um individuelle Lernprozesse in heterogenen Schülergruppen adaptiv unterstützen zu können.

Dieses Buch gewährt einen kompakten, aber verständlichen Überblick über die Methodik und Auswertung von verschiedenen Schulleistungsstudien und enthält eine erweiterte Diskussion des Kompetenzbegriffs.In Deutschland werden seit mehreren Jahren regelmäßig nationale und internationale Schulleistungsstudien durchgeführt, unter anderem die PISA-Studie. Viele dieser Studien verwenden das Rasch-Modell zur Erklärung der gewonnenen Ergebnisse. Was ist aber das Rasch-Modell und warum kann mit ihm die Messung von Schülerkompetenzen anhand von bestimmten Tests erfolgen? Nach einer grundlegenden und voraussetzungsfreien Vorstellung des Rasch-Models geht das Buch dieser Frage nach und erläutert in Verbindung mit den aktuellen Studien in Deutschlands Schulen die Grundprinzipien wie auch Grenzen des Rasch-Models.

Inverse Probleme treten in Naturwissenschaft und Technik auf, wo nicht direkt beobachtbare physikalische Größen aus von ihnen hervorgerufenen messbaren Wirkungen erschlossen werden sollen. So versucht man aus Messungen der Gravitationskraft auf Gesteinsschichtungen im Erdinneren zu schließen oder aus dem Vergleich von Ultraschallbildern verschieden stark komprimierten Gewebes auf dessen Elastizität. Häufig tritt die Schwierigkeit auf, dass kleinste Messunggenauigkeiten starke Auswirkungen in der errechneten Lösung zeitigen. Diese ist nur aussagekräftig, wenn im Lösungsverfahren eine Zusatzmaßnahme ergriffen wird, die sogenannte Regularisierung. Dieses Buch hat zum Ziel, einen schnellen und gleichzeitig mathematisch fundierten Einstieg in die Technik der regularisierten Lösung inverser Probleme zu bieten, ohne dabei mehr mathematisches Wissen vorauszusetzen, als in einem Bachelor-Studium der Mathematik oder der Ingenieurwissenschaften vermittelt wird. Besonders viel Raum wird einer detaillierten Besprechung von Analyse und Lösung realitätsnaher Anwendungsbeispiele gegeben.

Wie funktioniert die Wahl des Deutschen Bundestags? Wie errechnen sich Sitze in Schweizer Kantonsparlamenten? Kann man Stimmzahlen überhaupt fair auf Mandate umrechnen?Sitzzuteilungsmethoden und ihre wichtigsten formalen Eigenschaften sind Thema dieses an der Universität Augsburg erprobten Kompaktkurses. Verhältniswahlsysteme und ihre Methoden, Stimmenzahlen am Ende einer demokratischen Wahl in Mandate zu verrechnen, werden hier ausführlich und anschaulich behandelt. Zahlreiche Beispiele mit aktuellen Wahlergebnissen sichern dabei Realitätsnähe.Verfassungsrechtliche und politikwissenschaftliche Ansprüche, denen Sitzzuteilungsmethoden gerecht werden müssen, werden ebenfalls erläutert und heben den interdisziplinären Charakter der Fragestellung hervor.

Eine Gruppe, deren Mitglieder sich zwischen mehreren zur Wahl stehenden Alternativen entscheiden müssen, hat eine große Anzahl von Möglichkeiten, aus den Präferenzen der Einzelnen eine von der Gemeinschaft getragene Entscheidung zu ermitteln. Wie lässt sich sicherstellen, dass diese gemeinschaftliche Entscheidung den Willen der Gruppe sinnvoll widerspiegelt?Die Untersuchung von Methoden, die die vielen individuellen Meinungen zu einer einzigen Entscheidung für die gesamte Gruppe zusammenfassen, und die Darstellung der wichtigsten Eigenschaften dieser Verfahren sind Inhalt dieses Buches. Neben theoretischen Überlegungen steht dabei gleichberechtigt die Betrachtung zahlreicher Beispiele, die oft unerwartete Eigenschaften erkennen lassen.