Vektor- und Matrizenrechnung für Dummies

Karsten Kirchgessner arbeitet seit über vier Jahren als Tutor für höhere Mathematik am Karlsruher Institut für Technologie (KIT). Marco Schreck promovierte am KIT und blickt auf eine langjährige Lehrerfahrung in der theoretischen Physik zurück.

• Einleitung 19Konventionen in diesem Buch 19Törichte Annahmen über den Leser 20Was Sie in diesem Buch finden 20Was Sie in diesem Buch nicht finden 20Wie dieses Buch aufgebaut ist 20Teil I: Einführung 21Teil II: Vektorrechnung 21Teil III: Matrizen 21Teil IV: Lineare Gleichungssysteme 21Teil V: Der Top-Ten-Teil 22Spickzettel 22Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 22Wie es weitergeht 22Teil IEinführung 23Kapitel 1Motivation 25Gestatten: Die Familie der Vektoren, Matrizen und linearenGleichungssysteme 25Vektoren in Theorie und Praxis 26Matrizen in Schule, Studium und Beruf 27Wie Matrizen behandelt werden wollen und wie sie einem behilflich sind 28Kapitel 2Vektorrechnung 31Was war zuerst da: der Vektor oder der Pfeil? 31Voll konkret: explizite Schreibweise und Komponenten eines Vektors 33Der Betrag eines Vektors 36Beispiele 37Einheitsvektoren – Voll normal! 38Rechnen mit Vektoren 40Addition und Subtraktion von Vektoren 40Multiplikation von Vektoren mit Zahlen 45Linearkombination von Vektoren als »Pfeile« 47Differenzvektoren 48Vektoren in der analytischen Geometrie 49Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks 49Zum Halten von Lasten 51Kapitel 3Matrizen 55Definition und Form von Matrizen 55Rechnen mit Matrizen – mehr als nur ein Haufen Zahlen! 57Addition und Subtraktion von Matrizen 57Multiplikation von Matrizen 58Invertieren von Matrizen 60So sieht sich eine Matrix im Spiegel 60Der Stammbaum der Matrizen 63Reelle und komplexe Matrizen 63Quadratische und nicht-quadratische Matrizen 64Reguläre und singuläre Matrizen 64Symmetrische und hermitesche Matrizen 64Orthogonale und unitäre Matrizen 66Dreiecksmatrizen 67Noch speziellere Matrizen… 68Matrizen bei der Arbeit 68Determinante und Umkehrbarkeit von Transformationen 71Eigenwerte, Eigenvektoren und das Diagonalisieren von Matrizen 71Kapitel 4Lösen von linearen Gleichungssystemen 73Matrixschreibweise für lineare Gleichungssysteme 73Links- und Rechtsmultiplikation sind zweierlei! 77Umformen der Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems 81Teil IIVektorrechnung 83Kapitel 5Vektor mal Vektor = ??? 85Skalarprodukt: Vektor mal Vektor gleich Zahl 85Definition und Schreibweisen 85Wissenswertes zum Skalarprodukt: kurz und knapp 86Geometrische Bedeutung – endlich wird es anschaulich! 88Wie berechnet man das Skalarprodukt konkret? 91Kreuzprodukt: Vektor mal Vektor gleich Vektor 94Definition und Schreibweise 94Nützliches zum Vektorprodukt: wieder kurz und knapp 94Geometrische Bedeutung – endlich wird’s wieder anschaulich! 95Wie rechnet man das Kreuzprodukt konkret aus? 96Das Spatprodukt – und was ist bitte ein Parallelepiped? 100Dyadisches Produkt: Vektor mal Vektor gleich Matrix 102Definition und Schreibweise 102Dyadisches Produkt zweidimensionaler orthogonaler Einheitsvektoren 102Dyadisches Produkt von orthogonalen Einheitsvektorenin drei Dimensionen 103Kapitel 6Die Welt der Mathematik besteht aus Vektoren … 105Unser Koordinatensystem ist das Gerüst der Vektor-Welt 105Kartesische Koordinatensysteme – hier steht alles senkrecht! 105Beispiele für kartesische Koordinatensysteme 106Polarkoordinaten – krumme Linien in der Ebene?! 109Zylinderkoordinaten – Hut ab für die dritte Dimension! 115Kugelkoordinaten – eine runde Sache 118Basis und Basistransformationen: Wir wechseln den Blickwinkel! 122Unter der Lupe: Was versteht man unter einer Basis? 122Beispiele für Basen 124Basistransformationen – aus Alt mach Neu 125Jetzt geht’s rund – wir drehen die Basis! 127Kapitel 7Analytische Geometrie – mehr als nur ein paar Bauklötze! 135Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren 135Der Vektorzug fährt ein… 135Parallele und antiparallele Vektoren 136Anwendungsaufgabe zur linearen Abhängigkeit von Vektoren 137Darstellung von Geraden und Ebenen 139Parameterdarstellung: Jetzt kommen die Vektoren zum Zug! 139Normalenform: Der senkrechte Vektor zeigt, wo es lang geht! 142Zusammenfassung 144Der Klassiker: Schnitte und Abstände von Geraden und Ebenen 144Schnitte von Geraden mit Ebenen 144Abstand zwischen Ebene und einer parallelen Gerade 146Schnitt zweier Ebenen in Parameterdarstellung 147Schnitt einer Ebene in Parameterdarstellung und einer Ebene in Normalenform 148Bestimmung des Abstands zweier paralleler Ebenen 149Parallele und windschiefe Geraden 151Wir verlassen das Flachland und bauen Körper aus Ebenen 155Eine Pralinenschachtel in der Vektorrechnung 155Analytische Geometrie für Fortgeschrittene Teil 1:Wir bauen uns einen Tetraeder 157Analytische Geometrie für Fortgeschrittene Teil 2:Wie viel Farbe benötigt man, um einen Dodekaeder anzumalen? 160Die Sache kommt ins Rollen: Kugeln in der Vektorrechnung 166Die Kugelgleichung 166Tangentialebenen 167Schnitt von Kugeln mit Ebenen 168Kapitel 8Funktionenräume 171Können Funktionen Vektoren sein? 171Ein Skalarprodukt für Funktionen 173Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Funktionen 174Funktionen machen es den Vektoren im Anschauungsraum nach 174Der Funktionenraum der Polynome 175Monome als Bausteine von Polynomen 175Orthogonale Funktionen – was bedeutet das? 175Trigonometrische Funktionen 177Auf der Suche nach einer Basis 177Ran ans Werk: Das Skalarprodukt trigonometrischer Funktionen 178Die Fourierreihe – wir bringen Funktionen zum Schwingen 179So macht man aus unstetigen Funktionen stetige 180Teil IIIMatrizen 183Kapitel 9Rechenregeln 185Assoziativgesetz, Distributivgesetz und Kommutativgesetz für die Addition 185Addition, Subtraktion und Multiplikation in Aktion 187Division durch Bildung der Inversen 189Lineare Abbildungen, Kern und Bild 190Basistransformationen von Vektoren mittels Matrizen 190Einführung in lineare Abbildungen und deren Basiswechsel 191Kapitel 10Determinanten 199Verfahren nach Leibniz 199Permutationen – da haben wir den (Zahlen)salat! 199Die Determinantenformel 202Schachbrettregel und Unterdeterminanten 205Entwicklung nach Zeilen oder Spalten 207Spezialfall: (2 x 2)-Matrizen 211Spezialfall: (3 x 3)-Matrizen und Sarrussche Regel 211Rechenregeln für Determinanten 213Anwendung: Berechnung des Kreuzprodukts mit der Determinante 214Kapitel 11Invertieren von Matrizen 217Regularität und Singularität als Indiz für Invertierbarkeit 217Berechnung der Inversen mittels des Gauß-Algorithmus 219Bildung der Inversen mittels der Adjunkten 222Spezialfall: (2 x 2)- und (3 x 3)-Matrizen 226Kapitel 12Eigenwerte und Eigenvektoren, Diagonalisieren von Matrizen 229Berechnung von Eigenwerten, algebraische Vielfachheit 229Berechnung der Eigenvektoren, geometrische Vielfachheit 235Diagonalisieren von Matrizen 241Algebraische Vielfachheit = Geometrische Vielfachheit 241Mehrfaches Auftreten von Eigenwerten 243Algebraische Vielfachheit ≠?nGeometrische Vielfachheit 244Besonderheiten von symmetrischen und hermiteschen Matrizen 245Was sich nicht ändert beim Diagonalisieren 248Anwendung: Noch einmal Drehungen 250Anwendung: Quadriken 252Die Hauptachsen einer Quadrik 255Anwendung des Verfahrens nach Gram und Schmidt 257Ein paar Tipps zum Abschluss des Kapitels! 257Für Fortgeschrittene: Jordansche Normalform 258Bestimmung der Jordan-Normalform und der Transformationsmatrix 259Kapitel 13Besonders einfache Matrizen 263Dreiecksmatrizen 263Diagonalmatrizen 263Blockdiagonale Matrizen 264Teil IVLösen von linearen Gleichungssystemen 271Kapitel 14Gauß-Algorithmus in Matrixschreibweise: Vertiefung 273Erweiterte Koeffizientenmatrix und Zeilenstufenform 273Rang von Matrizen 274Systeme mit einer eindeutigen Lösung 276Systeme ohne Lösung 278Systeme mit unendlich vielen Lösungen 279Kapitel 15Lösen von linearen Gleichungssystemen mit Hilfe von Parametern 283Einführung von Parametern und Bilden der Lösung 283Minus-Eins-Ergänzungstrick: Erzeugung der Zeilennormalform und Ablesen der Lösung 284Kapitel 16Homogene und partikuläre Lösung 287Bildung der homogenen Lösung 287Bildung der partikulären Lösung 289Zusammensetzen beider Lösungen 289Kapitel 17Lösungsweg unter Verwendung der Determinante 291Aufstellen der zu berechnenden Determinanten und Cramersche Regel 291Resultate aus der Cramerschen Regel 293Anwendung: Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit zweier Parameter 293Anwendung: Die Wronski-Determinante 295Die Wronski-Determinante in Aktion 296Lineare Unabhängigkeit im Fall der Monome 297Lineare Unabhängigkeit im Fall der Sinus- und Kosinusfunktionen 298Teil VDer Top-Ten-Teil 299Kapitel 18Zehn häufige Anfängerfehler 301Dividieren durch Vektoren – Nein! 301Matrizen vertauschen nicht! 301Ein Vektor hängt von den Komponenten und der Basis ab! 301Verwirrung beim komplexen Skalarprodukt 301Leichtsinnsfehler 302Vektoren in anderen Koordinatensystemen 302Einheitskreis – wie bitte? 302Wurzelziehen aus Quadraten 302Vorsicht mit der imaginären Einheit 302Falsche Regeln bei der Berechnung von Determinanten 303Kapitel 19Zehn Tipps für erfolgreiche Prüfungen 305Üben, üben, üben! 305Nachdenken ist die halbe Miete! 305Ergebnisse kritisch begutachten 305Üben Sie auch möglichst an verschiedenen Aufgabentypen! 306Gleichungen müssen stimmig sein! 306Effizienz von Algorithmen 306Aussehen von Geraden und Ebenen 306Denken Sie sich selber Aufgaben aus! 306Nehmen Sie nicht alles bierernst! 306Denken Sie an die am häufigsten vorkommenden Fragen! 307Stichwortverzeichnis 309