Torsten Schreiber studierte in Fulda angewandte Mathematik und Informatik. Seit dem unterrichtet er an der Hochschule Fulda und der THM Friedberg Mathematik für die unterschiedlichsten Fachbereiche und hat das Zertifikat der Kompetenz für professionelle Hochschullehre erhalten.

• Über dieses Buch 17Wofür die Wirtschaftsmathematik gut ist 17Konventionen indiesem Buch 18Wie Sie dieses Buch nutzen können 18Törichte Annahmen über den Leser 19Wie dieses Buch aufgebaut ist 19Teil I: Arithmetik – die Magie der Mathematik 19Teil II: Gleichungen – die Kunst der Mathematik 20Teil III: Vektoren – die Faszination der Mathematik 20Teil IV: Grenzwerte – die Ränder der Mathematik 20Teil V: Differentiale – die Analyse der Mathematik 21Teil VI: Integrale – die Flächen der Mathematik 21Teil VII: Mengenlehre – der Urknall der Mathematik 21Teil VIII: Der Top-Ten-Teil 22Zusatzmaterialien im Internet 22Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 22Wie es weitergeht 23Teil I Arithmetik – die Magie der Mathematik 25Kapitel 1 Plus, minus, mal und geteilt – die Basis der Mathematik 27Auch hier brauchen Sie zuerst Gesetze 27Kommutativgesetz 27Assoziativgesetz 28Distributivgesetz 29Was sind das neutrale und dasinverse Element? 31Jede Operation hat auch eine Gegenoperation 31Klammer auf und Klammer zu und schon wird vieles einfacher 32Eine Handvoll Svon Schreiber 33Kapitel 2 Auch die Brüche sind Freunde 37Wie sieht die Welt der Brüche aus? 37Mit Brüchen können Sie auch rechnen 38Multiplizieren von Brüchen 39Addieren oder Subtrahieren von Brüchen 40Division von Brüchen 40Wofür braucht man den Kehrwert? 41Der Doppelbruch sieht schlimmer aus, als er ist 42Kapitel 3 Potenzen vereinfachen die Welt 45Der Unterschied zwischenPotenz und Exponential 45Gesetze müssen Sie nicht lernen, sondern herleiten können 46Hierarchiepyramide nach Schreiber – Potenzen 46Die verschiedenen Arten der Exponenten 48Natürliche Zahlen 48Negative ganze Zahlen 50Rationale Zahlen 50Potenzen grafisch darstellen 52Kapitel 4 Summen potenzieren? 55Die erste und zweite binomische Formel begreifen 55Wie können Sie das dritte Binom effektiv nutzen? 56Wurzelnentfernen 57Konjugiert komplexe Zahl 59Bei Exponenten größer als zwei hilft nur das pascalscheDreieck 60Kapitel 5 Von einem exponentiellen Wachstum träumt doch jede(r) 65Was heißt exponentielles Wachstum/Gefälle? 65Wenn es steigt 66Wenn es fällt 67Exponentielle Funktionen zeichnen 68Sie betrachten die e-Funktion 70Kapitel 6 Nach einem Exponentenauflösen 73Den Logarithmusberechnen können 73Gesetze müssen Sie auch hier nicht lernen, sondern herleiten können 74Hierarchiepyramide nach Schreiber – Logarithmen 74Die Basis des Logarithmus bestimmt denTerm 76Die unterschiedlichen Graphen genauer betrachten 77Wie kann der Logarithmus ganz einfach neutralisiert werden? 80Kapitel 7 Sinus und Cosinus auf der Suche nach dem Einheitskreis 83Alles begann am rechtwinkligen Dreieck 83Warum ist Pi dasselbe wie360 Grad? 85Den Einheitskreis verstehen lernen 86Was sagen Ihnen Tangens und Cotangens? 90Was machen Sie, wenn das Dreieck nichtrechtwinklig ist? 91Sinussatz 92Cosinussatz 93Teil II Gleichungen – Die Kunst Der Mathematik 95Kapitel 8 Gleichungen mit einer Variablen – »fast« zu trivial für Sie 97Methode für eine lineare Gleichung 97Wie wird eine lineare Gleichung interpretiert? 99Eine quadratische Gleichung: Was ist das? 100Quadratische Ergänzung 103p–q-Formel/Mitternachtsformel 105Satz von Vieta 107Ist eine biquadratische Gleichung schwer? 108Die Polynomdivision ist auch nur eine ganz normale Division 109Kapitel 9 Nicht alles, was größer ist, muss auch größer sein 113Eine Ungleichung verstehen 113Was bedeutet eine Ungleichung grafisch? 114Die Lösungsmethode FREPL hilft Ihnen beim Lösen von Ungleichungen 118Betragsungleichung 119Bruchungleichung 121Nicht jedes Ergebnis muss auch Lösung sein 123Kapitel 10 Zwei Unbekannte /zwei Gleichungen – auch keine Herausforderung! 125Was suchen Sie grafisch gesehen? 125Lösungen suchen und effektiv bestimmen 127Gleichsetzungsverfahren 127Einsetzungsverfahren 128Additionsverfahren 128Das Eliminationsverfahren nachGauß kann immer helfen 130Die Mannigfaltigkeit beschreibt die Lösungsmenge 132Teil III Vektoren – Die Faszination Der Mathematik 135Kapitel 11 Früher war alles flach, heute ist es mehrdimensional 137Was ist eigentlich ein Vektor? 137Mit Vektoren rechnen 140Skalares Produkt 141Inneres Produkt (Skalarprodukt) 141Äußeres Produkt (Vektorprodukt) 142Die Längeund den Winkelvon Vektorenberechnen 144Der euklidische Vektorraum 149Beweisund Interpretation der linearen (Un-)Abhängigkeit 151Basis 153Span und Dimension 154Die Basis transformieren 154Kapitel 12 Punkt, Gerade und Ebene – alles, was Spaß macht 157Was wird für eine Gerade/Ebene gebraucht? 157Ortsvektor 157Richtungsvektor 158Eine Gerade besteht auszweiVektoren 160Für eine Ebene benötigen Sie drei Vektoren 161Der Stellungsvektor – der senkrechte Nagel einer Ebene 162Die Definition einer Ebene verstehen 164Parameterform 164Parameterfreie Darstellung 165Ein Wechsel zwischen den Darstellungen 166Kapitel 13 Punkt, Gerade und Ebene – geht da noch was? 169Liegt der Punkt auf der Geraden oder Ebene? 169Wie liegen denn zwei Geraden zueinander? 171Schneidend 172Windschief 173Parallel 174Identisch 175Der Entscheidungsbaum der Lagerelationen 176Was passiert zwischen einer Geraden und einer Ebene? 177Wie können zweiEbenen zueinanderliegen? 179Parallelität 179Identität 180Schnittgerade 181Dann sollten Sie mal aufAbstand gehen 182Punkt – Gerade 183Punkt – Ebene 184Gerade – Gerade 184Gerade/Ebene – Ebene 187Teil IV Grenzwerte – Die Ränder Der Mathematik 191Kapitel 14 Der Limes – mehr als nur ein Schutzwall der Römer 193Was ist ein Grenzwert? 193Nur an bestimmten Stellen lohntsich die Grenzwertbetrachtung 195Spezielle Grenzwerte kennenlernen 198Was passiert bei »null dividiert durch null«? 200Kürzendes Linearfaktors 201Erweiterung mittels des dritten Binoms 202Regel von L'Hospital 203Null mal unendlichkann so ziemlich alles sein 204Die Faustregel der Grenzwertbetrachtung hilft beim Rechnen 205Die siebenSchritte derGrenzwertberechnung 206Kapitel 15 Asymptoten – die grafische Interpretation von Grenzen 209Formen der Annäherungsgraphen erkennen und verstehen 209Waagerechte Asymptoten 210Senkrechte Asymptoten 211Diagonale Asymptoten 212Die Ersatzfunktion erzeugt die behebbaren Lücken 213Techniken für Asymptoten und Lücken 215Grafische Darstellung derErgebnisse 217Kapitel 16 Stetigkeit/Differenzierbarkeit – die Interpretation des Limes 221Ein Graphohne Sprünge ist stetig 221Eine Funktion ohne Ecken ist differenzierbar 224Was verstehtman unter einer gesplitteten Funktion? 226Teil V Differentiale – Die Analyse Der Mathematik 229Kapitel 17 Die Bildung von Ableitungen ist keine Hexerei 231Die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten 231Für reine Potenzterme ableiten nach Schema F 234Handelt es sich um ein Produkt, gilt die Produktregel 235Handelt es sich um einen Quotienten, gilt die Quotientenregel 235Die Welt besteht aus Kettenregeln 237Potenzfunktionen 238Exponentialfunktionen 239Logarithmusfunktionen 241Trigonometrische Funktionen 243Was tun, wenn die Funktion stark verschachtelt ist? 244Wie gehen Sie mit einer Funktionenschar um? 246Kapitel 18 Die Ableitungen beschreiben die wesentlichen Punkte einer Funktion 251Für was wird die erste Ableitung genutzt? 251Extremstellen 252Tangentengleichung 254Was sagt Ihnen die zweite Ableitung? 255Wendestellen 255Klassifizierung der Extremstellen 257Extremwertprobleme verstehen und lösen 259Bestimmung einer Funktion aufgrund von markanten Punkten 262Kapitel 19 Die Funktion mittels Kurvendiskussion begreifen 265Mit siebenSchritten eine Funktion analysieren 265Wie können Sie aufgrund eines Graphen die Funktion bestimmen? 270Kapitel 20 Sinus/Cosinus – Funktionen modulieren und verschieben 273Wie funktionieren die Additionstheoreme? 273In der Waagerechten und in der Senkrechten verschieben 274Phasenverschiebung 274Wertebereichsverschiebung 275Den Sinus/Cosinus strecken oder stauchen 276Amplitudenmodulation 277Periodenvariation 277Skizzieren von trigonometrischenFunktionen 278Teil VI Integrale – Die Flächen Der Mathematik 283Kapitel 21 Die Stammfunktion ist nichts anderesals die »Aufleitung« 285Zusammenhänge zwischen Integranden- und Stammfunktion 285Worin unterscheiden sich dieIntegrale? 286Die Stammfunktion bilden und verstehen 288Potenzterme 288A 3 -Verfahren 289Partielle Integration 292Integration mittels Substitution 296Der sichere Weg zum Integral 298Kapitel 22 Egal welche Fläche,esist immer ein Integral 301Das sollten Sie generell über Flächen wissen 301Die Fläche innerhalb von definierten Grenzen bestimmen 303Wie groß ist die Fläche … 305… zwischen Funktion und x-Achse 305… zwischen zweiFunktionen 306Welche Grenzen müssen Sie wählen, um eine gegebene Fläche zu bekommen? 308Teil VII Mengenlehre – Der Urknall Der Mathematik 311Kapitel 23 Mengenlehre begreifen, um die Mathematik zu verstehen 313Aus was besteht denn eigentlich eine Menge? 313Mengen einfach definieren und darstellen 315Eigenschaften 316Venn-Diagramm 317Aufzählungen 318Keine Angst vor den Beziehungen 318Teilmenge 318Durchschnittsmenge 320Vereinigungsmenge 320Negation 321Welche Arten von Symmetrie kann eine Struktur haben? 321Wofür Gesetze so alles gut sind 322Klasseneinteilungen klar erzeugen und beweisen 324Zahlenmengen machen die Welt verständlich 325Kapitel 24 Wer behauptet, aus negativen Zahlen gebe es keine Wurzeln, der lügt 329Die komplexe Zahl passt in die bisherige Zahlenwelt 329Die besondere Rolle des Imaginärteils 331Was gehört denn sonst noch so zu einer komplexen Zahl? 332Darstellungsmöglichkeiten einer komplexen Zahl 334Jetzt müssen Sie nur noch mit den neuen Zahlen rechnen 334Teil VIII Der Top-ten-teil 337Kapitel 25 Zehn Schritte die Ihre Effektivität steigern 339Verstehen Sie die Sprache? 339HabenSie auch genugtrainiert? 339Eine Aufgabe ist kein Problem, sondern eine Herausforderung! 340Wissen Sie auch, wo was steht? 341Was haben Sie und was suchen Sie? 341Gut geschätzt ist halb gewonnen 342Der Funktionsgraph hilft Ihnen 342Kleine Schritte führen sicher zumZiel 342NutzenSie meine neuen Methoden! 343Hinterfragen Sie Ihre Ergebnisse! 343Anhang A: Lösungen 345Stichwortverzeichnis 397

Torsten Schreiber studierte in Fulda angewandte Mathematik und Informatik. Seit dem unterrichtet er an der Hochschule Fulda und der THM Friedberg Mathematik für die unterschiedlichsten Fachbereiche und hat das Zertifikat der Kompetenz für professionelle Hochschullehre erhalten.

• Über dieses Buch 17Wofür die Wirtschaftsmathematik gut ist 17Konventionen indiesem Buch 18Wie Sie dieses Buch nutzen können 18Törichte Annahmen über den Leser 19Wie dieses Buch aufgebaut ist 19Teil I: Arithmetik – die Magie der Mathematik 19Teil II: Gleichungen – die Kunst der Mathematik 20Teil III: Vektoren – die Faszination der Mathematik 20Teil IV: Grenzwerte – die Ränder der Mathematik 20Teil V: Differentiale – die Analyse der Mathematik 21Teil VI: Integrale – die Flächen der Mathematik 21Teil VII: Mengenlehre – der Urknall der Mathematik 21Teil VIII: Der Top-Ten-Teil 22Zusatzmaterialien im Internet 22Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 22Wie es weitergeht 23Teil I Arithmetik – die Magie der Mathematik 25Kapitel 1 Plus, minus, mal und geteilt – die Basis der Mathematik 27Auch hier brauchen Sie zuerst Gesetze 27Kommutativgesetz 27Assoziativgesetz 28Distributivgesetz 29Was sind das neutrale und dasinverse Element? 31Jede Operation hat auch eine Gegenoperation 31Klammer auf und Klammer zu und schon wird vieles einfacher 32Eine Handvoll Svon Schreiber 33Kapitel 2 Auch die Brüche sind Freunde 37Wie sieht die Welt der Brüche aus? 37Mit Brüchen können Sie auch rechnen 38Multiplizieren von Brüchen 39Addieren oder Subtrahieren von Brüchen 40Division von Brüchen 40Wofür braucht man den Kehrwert? 41Der Doppelbruch sieht schlimmer aus, als er ist 42Kapitel 3 Potenzen vereinfachen die Welt 45Der Unterschied zwischenPotenz und Exponential 45Gesetze müssen Sie nicht lernen, sondern herleiten können 46Hierarchiepyramide nach Schreiber – Potenzen 46Die verschiedenen Arten der Exponenten 48Natürliche Zahlen 48Negative ganze Zahlen 50Rationale Zahlen 50Potenzen grafisch darstellen 52Kapitel 4 Summen potenzieren? 55Die erste und zweite binomische Formel begreifen 55Wie können Sie das dritte Binom effektiv nutzen? 56Wurzelnentfernen 57Konjugiert komplexe Zahl 59Bei Exponenten größer als zwei hilft nur das pascalscheDreieck 60Kapitel 5 Von einem exponentiellen Wachstum träumt doch jede(r) 65Was heißt exponentielles Wachstum/Gefälle? 65Wenn es steigt 66Wenn es fällt 67Exponentielle Funktionen zeichnen 68Sie betrachten die e-Funktion 70Kapitel 6 Nach einem Exponentenauflösen 73Den Logarithmusberechnen können 73Gesetze müssen Sie auch hier nicht lernen, sondern herleiten können 74Hierarchiepyramide nach Schreiber – Logarithmen 74Die Basis des Logarithmus bestimmt denTerm 76Die unterschiedlichen Graphen genauer betrachten 77Wie kann der Logarithmus ganz einfach neutralisiert werden? 80Kapitel 7 Sinus und Cosinus auf der Suche nach dem Einheitskreis 83Alles begann am rechtwinkligen Dreieck 83Warum ist Pi dasselbe wie360 Grad? 85Den Einheitskreis verstehen lernen 86Was sagen Ihnen Tangens und Cotangens? 90Was machen Sie, wenn das Dreieck nichtrechtwinklig ist? 91Sinussatz 92Cosinussatz 93Teil II Gleichungen – Die Kunst Der Mathematik 95Kapitel 8 Gleichungen mit einer Variablen – »fast« zu trivial für Sie 97Methode für eine lineare Gleichung 97Wie wird eine lineare Gleichung interpretiert? 99Eine quadratische Gleichung: Was ist das? 100Quadratische Ergänzung 103p–q-Formel/Mitternachtsformel 105Satz von Vieta 107Ist eine biquadratische Gleichung schwer? 108Die Polynomdivision ist auch nur eine ganz normale Division 109Kapitel 9 Nicht alles, was größer ist, muss auch größer sein 113Eine Ungleichung verstehen 113Was bedeutet eine Ungleichung grafisch? 114Die Lösungsmethode FREPL hilft Ihnen beim Lösen von Ungleichungen 118Betragsungleichung 119Bruchungleichung 121Nicht jedes Ergebnis muss auch Lösung sein 123Kapitel 10 Zwei Unbekannte /zwei Gleichungen – auch keine Herausforderung! 125Was suchen Sie grafisch gesehen? 125Lösungen suchen und effektiv bestimmen 127Gleichsetzungsverfahren 127Einsetzungsverfahren 128Additionsverfahren 128Das Eliminationsverfahren nachGauß kann immer helfen 130Die Mannigfaltigkeit beschreibt die Lösungsmenge 132Teil III Vektoren – Die Faszination Der Mathematik 135Kapitel 11 Früher war alles flach, heute ist es mehrdimensional 137Was ist eigentlich ein Vektor? 137Mit Vektoren rechnen 140Skalares Produkt 141Inneres Produkt (Skalarprodukt) 141Äußeres Produkt (Vektorprodukt) 142Die Längeund den Winkelvon Vektorenberechnen 144Der euklidische Vektorraum 149Beweisund Interpretation der linearen (Un-)Abhängigkeit 151Basis 153Span und Dimension 154Die Basis transformieren 154Kapitel 12 Punkt, Gerade und Ebene – alles, was Spaß macht 157Was wird für eine Gerade/Ebene gebraucht? 157Ortsvektor 157Richtungsvektor 158Eine Gerade besteht auszweiVektoren 160Für eine Ebene benötigen Sie drei Vektoren 161Der Stellungsvektor – der senkrechte Nagel einer Ebene 162Die Definition einer Ebene verstehen 164Parameterform 164Parameterfreie Darstellung 165Ein Wechsel zwischen den Darstellungen 166Kapitel 13 Punkt, Gerade und Ebene – geht da noch was? 169Liegt der Punkt auf der Geraden oder Ebene? 169Wie liegen denn zwei Geraden zueinander? 171Schneidend 172Windschief 173Parallel 174Identisch 175Der Entscheidungsbaum der Lagerelationen 176Was passiert zwischen einer Geraden und einer Ebene? 177Wie können zweiEbenen zueinanderliegen? 179Parallelität 179Identität 180Schnittgerade 181Dann sollten Sie mal aufAbstand gehen 182Punkt – Gerade 183Punkt – Ebene 184Gerade – Gerade 184Gerade/Ebene – Ebene 187Teil IV Grenzwerte – Die Ränder Der Mathematik 191Kapitel 14 Der Limes – mehr als nur ein Schutzwall der Römer 193Was ist ein Grenzwert? 193Nur an bestimmten Stellen lohntsich die Grenzwertbetrachtung 195Spezielle Grenzwerte kennenlernen 198Was passiert bei »null dividiert durch null«? 200Kürzendes Linearfaktors 201Erweiterung mittels des dritten Binoms 202Regel von L'Hospital 203Null mal unendlichkann so ziemlich alles sein 204Die Faustregel der Grenzwertbetrachtung hilft beim Rechnen 205Die siebenSchritte derGrenzwertberechnung 206Kapitel 15 Asymptoten – die grafische Interpretation von Grenzen 209Formen der Annäherungsgraphen erkennen und verstehen 209Waagerechte Asymptoten 210Senkrechte Asymptoten 211Diagonale Asymptoten 212Die Ersatzfunktion erzeugt die behebbaren Lücken 213Techniken für Asymptoten und Lücken 215Grafische Darstellung derErgebnisse 217Kapitel 16 Stetigkeit/Differenzierbarkeit – die Interpretation des Limes 221Ein Graphohne Sprünge ist stetig 221Eine Funktion ohne Ecken ist differenzierbar 224Was verstehtman unter einer gesplitteten Funktion? 226Teil V Differentiale – Die Analyse Der Mathematik 229Kapitel 17 Die Bildung von Ableitungen ist keine Hexerei 231Die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten 231Für reine Potenzterme ableiten nach Schema F 234Handelt es sich um ein Produkt, gilt die Produktregel 235Handelt es sich um einen Quotienten, gilt die Quotientenregel 235Die Welt besteht aus Kettenregeln 237Potenzfunktionen 238Exponentialfunktionen 239Logarithmusfunktionen 241Trigonometrische Funktionen 243Was tun, wenn die Funktion stark verschachtelt ist? 244Wie gehen Sie mit einer Funktionenschar um? 246Kapitel 18 Die Ableitungen beschreiben die wesentlichen Punkte einer Funktion 251Für was wird die erste Ableitung genutzt? 251Extremstellen 252Tangentengleichung 254Was sagt Ihnen die zweite Ableitung? 255Wendestellen 255Klassifizierung der Extremstellen 257Extremwertprobleme verstehen und lösen 259Bestimmung einer Funktion aufgrund von markanten Punkten 262Kapitel 19 Die Funktion mittels Kurvendiskussion begreifen 265Mit siebenSchritten eine Funktion analysieren 265Wie können Sie aufgrund eines Graphen die Funktion bestimmen? 270Kapitel 20 Sinus/Cosinus – Funktionen modulieren und verschieben 273Wie funktionieren die Additionstheoreme? 273In der Waagerechten und in der Senkrechten verschieben 274Phasenverschiebung 274Wertebereichsverschiebung 275Den Sinus/Cosinus strecken oder stauchen 276Amplitudenmodulation 277Periodenvariation 277Skizzieren von trigonometrischenFunktionen 278Teil VI Integrale – Die Flächen Der Mathematik 283Kapitel 21 Die Stammfunktion ist nichts anderesals die »Aufleitung« 285Zusammenhänge zwischen Integranden- und Stammfunktion 285Worin unterscheiden sich dieIntegrale? 286Die Stammfunktion bilden und verstehen 288Potenzterme 288A 3 -Verfahren 289Partielle Integration 292Integration mittels Substitution 296Der sichere Weg zum Integral 298Kapitel 22 Egal welche Fläche,esist immer ein Integral 301Das sollten Sie generell über Flächen wissen 301Die Fläche innerhalb von definierten Grenzen bestimmen 303Wie groß ist die Fläche … 305… zwischen Funktion und x-Achse 305… zwischen zweiFunktionen 306Welche Grenzen müssen Sie wählen, um eine gegebene Fläche zu bekommen? 308Teil VII Mengenlehre – Der Urknall Der Mathematik 311Kapitel 23 Mengenlehre begreifen, um die Mathematik zu verstehen 313Aus was besteht denn eigentlich eine Menge? 313Mengen einfach definieren und darstellen 315Eigenschaften 316Venn-Diagramm 317Aufzählungen 318Keine Angst vor den Beziehungen 318Teilmenge 318Durchschnittsmenge 320Vereinigungsmenge 320Negation 321Welche Arten von Symmetrie kann eine Struktur haben? 321Wofür Gesetze so alles gut sind 322Klasseneinteilungen klar erzeugen und beweisen 324Zahlenmengen machen die Welt verständlich 325Kapitel 24 Wer behauptet, aus negativen Zahlen gebe es keine Wurzeln, der lügt 329Die komplexe Zahl passt in die bisherige Zahlenwelt 329Die besondere Rolle des Imaginärteils 331Was gehört denn sonst noch so zu einer komplexen Zahl? 332Darstellungsmöglichkeiten einer komplexen Zahl 334Jetzt müssen Sie nur noch mit den neuen Zahlen rechnen 334Teil VIII Der Top-ten-teil 337Kapitel 25 Zehn Schritte die Ihre Effektivität steigern 339Verstehen Sie die Sprache? 339HabenSie auch genugtrainiert? 339Eine Aufgabe ist kein Problem, sondern eine Herausforderung! 340Wissen Sie auch, wo was steht? 341Was haben Sie und was suchen Sie? 341Gut geschätzt ist halb gewonnen 342Der Funktionsgraph hilft Ihnen 342Kleine Schritte führen sicher zumZiel 342NutzenSie meine neuen Methoden! 343Hinterfragen Sie Ihre Ergebnisse! 343Anhang A: Lösungen 345Stichwortverzeichnis 397

Torsten Schreiber studierte in Fulda angewandte Mathematik und Informatik. Seit dem unterrichtet er an der Hochschule Fulda und der THM Friedberg Mathematik für die unterschiedlichsten Fachbereiche und hat das Zertifikat der Kompetenz für professionelle Hochschullehre erhalten.

• Über dieses Buch 17Wofür die Wirtschaftsmathematik gut ist 17Konventionen indiesem Buch 18Wie Sie dieses Buch nutzen können 18Törichte Annahmen über den Leser 19Wie dieses Buch aufgebaut ist 19Teil I: Arithmetik – die Magie der Mathematik 19Teil II: Gleichungen – die Kunst der Mathematik 20Teil III: Vektoren – die Faszination der Mathematik 20Teil IV: Grenzwerte – die Ränder der Mathematik 20Teil V: Differentiale – die Analyse der Mathematik 21Teil VI: Integrale – die Flächen der Mathematik 21Teil VII: Mengenlehre – der Urknall der Mathematik 21Teil VIII: Der Top-Ten-Teil 22Zusatzmaterialien im Internet 22Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 22Wie es weitergeht 23Teil I Arithmetik – die Magie der Mathematik 25Kapitel 1 Plus, minus, mal und geteilt – die Basis der Mathematik 27Auch hier brauchen Sie zuerst Gesetze 27Kommutativgesetz 27Assoziativgesetz 28Distributivgesetz 29Was sind das neutrale und dasinverse Element? 31Jede Operation hat auch eine Gegenoperation 31Klammer auf und Klammer zu und schon wird vieles einfacher 32Eine Handvoll Svon Schreiber 33Kapitel 2 Auch die Brüche sind Freunde 37Wie sieht die Welt der Brüche aus? 37Mit Brüchen können Sie auch rechnen 38Multiplizieren von Brüchen 39Addieren oder Subtrahieren von Brüchen 40Division von Brüchen 40Wofür braucht man den Kehrwert? 41Der Doppelbruch sieht schlimmer aus, als er ist 42Kapitel 3 Potenzen vereinfachen die Welt 45Der Unterschied zwischenPotenz und Exponential 45Gesetze müssen Sie nicht lernen, sondern herleiten können 46Hierarchiepyramide nach Schreiber – Potenzen 46Die verschiedenen Arten der Exponenten 48Natürliche Zahlen 48Negative ganze Zahlen 50Rationale Zahlen 50Potenzen grafisch darstellen 52Kapitel 4 Summen potenzieren? 55Die erste und zweite binomische Formel begreifen 55Wie können Sie das dritte Binom effektiv nutzen? 56Wurzelnentfernen 57Konjugiert komplexe Zahl 59Bei Exponenten größer als zwei hilft nur das pascalscheDreieck 60Kapitel 5 Von einem exponentiellen Wachstum träumt doch jede(r) 65Was heißt exponentielles Wachstum/Gefälle? 65Wenn es steigt 66Wenn es fällt 67Exponentielle Funktionen zeichnen 68Sie betrachten die e-Funktion 70Kapitel 6 Nach einem Exponentenauflösen 73Den Logarithmusberechnen können 73Gesetze müssen Sie auch hier nicht lernen, sondern herleiten können 74Hierarchiepyramide nach Schreiber – Logarithmen 74Die Basis des Logarithmus bestimmt denTerm 76Die unterschiedlichen Graphen genauer betrachten 77Wie kann der Logarithmus ganz einfach neutralisiert werden? 80Kapitel 7 Sinus und Cosinus auf der Suche nach dem Einheitskreis 83Alles begann am rechtwinkligen Dreieck 83Warum ist Pi dasselbe wie360 Grad? 85Den Einheitskreis verstehen lernen 86Was sagen Ihnen Tangens und Cotangens? 90Was machen Sie, wenn das Dreieck nichtrechtwinklig ist? 91Sinussatz 92Cosinussatz 93Teil II Gleichungen – Die Kunst Der Mathematik 95Kapitel 8 Gleichungen mit einer Variablen – »fast« zu trivial für Sie 97Methode für eine lineare Gleichung 97Wie wird eine lineare Gleichung interpretiert? 99Eine quadratische Gleichung: Was ist das? 100Quadratische Ergänzung 103p–q-Formel/Mitternachtsformel 105Satz von Vieta 107Ist eine biquadratische Gleichung schwer? 108Die Polynomdivision ist auch nur eine ganz normale Division 109Kapitel 9 Nicht alles, was größer ist, muss auch größer sein 113Eine Ungleichung verstehen 113Was bedeutet eine Ungleichung grafisch? 114Die Lösungsmethode FREPL hilft Ihnen beim Lösen von Ungleichungen 118Betragsungleichung 119Bruchungleichung 121Nicht jedes Ergebnis muss auch Lösung sein 123Kapitel 10 Zwei Unbekannte /zwei Gleichungen – auch keine Herausforderung! 125Was suchen Sie grafisch gesehen? 125Lösungen suchen und effektiv bestimmen 127Gleichsetzungsverfahren 127Einsetzungsverfahren 128Additionsverfahren 128Das Eliminationsverfahren nachGauß kann immer helfen 130Die Mannigfaltigkeit beschreibt die Lösungsmenge 132Teil III Vektoren – Die Faszination Der Mathematik 135Kapitel 11 Früher war alles flach, heute ist es mehrdimensional 137Was ist eigentlich ein Vektor? 137Mit Vektoren rechnen 140Skalares Produkt 141Inneres Produkt (Skalarprodukt) 141Äußeres Produkt (Vektorprodukt) 142Die Längeund den Winkelvon Vektorenberechnen 144Der euklidische Vektorraum 149Beweisund Interpretation der linearen (Un-)Abhängigkeit 151Basis 153Span und Dimension 154Die Basis transformieren 154Kapitel 12 Punkt, Gerade und Ebene – alles, was Spaß macht 157Was wird für eine Gerade/Ebene gebraucht? 157Ortsvektor 157Richtungsvektor 158Eine Gerade besteht auszweiVektoren 160Für eine Ebene benötigen Sie drei Vektoren 161Der Stellungsvektor – der senkrechte Nagel einer Ebene 162Die Definition einer Ebene verstehen 164Parameterform 164Parameterfreie Darstellung 165Ein Wechsel zwischen den Darstellungen 166Kapitel 13 Punkt, Gerade und Ebene – geht da noch was? 169Liegt der Punkt auf der Geraden oder Ebene? 169Wie liegen denn zwei Geraden zueinander? 171Schneidend 172Windschief 173Parallel 174Identisch 175Der Entscheidungsbaum der Lagerelationen 176Was passiert zwischen einer Geraden und einer Ebene? 177Wie können zweiEbenen zueinanderliegen? 179Parallelität 179Identität 180Schnittgerade 181Dann sollten Sie mal aufAbstand gehen 182Punkt – Gerade 183Punkt – Ebene 184Gerade – Gerade 184Gerade/Ebene – Ebene 187Teil IV Grenzwerte – Die Ränder Der Mathematik 191Kapitel 14 Der Limes – mehr als nur ein Schutzwall der Römer 193Was ist ein Grenzwert? 193Nur an bestimmten Stellen lohntsich die Grenzwertbetrachtung 195Spezielle Grenzwerte kennenlernen 198Was passiert bei »null dividiert durch null«? 200Kürzendes Linearfaktors 201Erweiterung mittels des dritten Binoms 202Regel von L'Hospital 203Null mal unendlichkann so ziemlich alles sein 204Die Faustregel der Grenzwertbetrachtung hilft beim Rechnen 205Die siebenSchritte derGrenzwertberechnung 206Kapitel 15 Asymptoten – die grafische Interpretation von Grenzen 209Formen der Annäherungsgraphen erkennen und verstehen 209Waagerechte Asymptoten 210Senkrechte Asymptoten 211Diagonale Asymptoten 212Die Ersatzfunktion erzeugt die behebbaren Lücken 213Techniken für Asymptoten und Lücken 215Grafische Darstellung derErgebnisse 217Kapitel 16 Stetigkeit/Differenzierbarkeit – die Interpretation des Limes 221Ein Graphohne Sprünge ist stetig 221Eine Funktion ohne Ecken ist differenzierbar 224Was verstehtman unter einer gesplitteten Funktion? 226Teil V Differentiale – Die Analyse Der Mathematik 229Kapitel 17 Die Bildung von Ableitungen ist keine Hexerei 231Die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten 231Für reine Potenzterme ableiten nach Schema F 234Handelt es sich um ein Produkt, gilt die Produktregel 235Handelt es sich um einen Quotienten, gilt die Quotientenregel 235Die Welt besteht aus Kettenregeln 237Potenzfunktionen 238Exponentialfunktionen 239Logarithmusfunktionen 241Trigonometrische Funktionen 243Was tun, wenn die Funktion stark verschachtelt ist? 244Wie gehen Sie mit einer Funktionenschar um? 246Kapitel 18 Die Ableitungen beschreiben die wesentlichen Punkte einer Funktion 251Für was wird die erste Ableitung genutzt? 251Extremstellen 252Tangentengleichung 254Was sagt Ihnen die zweite Ableitung? 255Wendestellen 255Klassifizierung der Extremstellen 257Extremwertprobleme verstehen und lösen 259Bestimmung einer Funktion aufgrund von markanten Punkten 262Kapitel 19 Die Funktion mittels Kurvendiskussion begreifen 265Mit siebenSchritten eine Funktion analysieren 265Wie können Sie aufgrund eines Graphen die Funktion bestimmen? 270Kapitel 20 Sinus/Cosinus – Funktionen modulieren und verschieben 273Wie funktionieren die Additionstheoreme? 273In der Waagerechten und in der Senkrechten verschieben 274Phasenverschiebung 274Wertebereichsverschiebung 275Den Sinus/Cosinus strecken oder stauchen 276Amplitudenmodulation 277Periodenvariation 277Skizzieren von trigonometrischenFunktionen 278Teil VI Integrale – Die Flächen Der Mathematik 283Kapitel 21 Die Stammfunktion ist nichts anderesals die »Aufleitung« 285Zusammenhänge zwischen Integranden- und Stammfunktion 285Worin unterscheiden sich dieIntegrale? 286Die Stammfunktion bilden und verstehen 288Potenzterme 288A 3 -Verfahren 289Partielle Integration 292Integration mittels Substitution 296Der sichere Weg zum Integral 298Kapitel 22 Egal welche Fläche,esist immer ein Integral 301Das sollten Sie generell über Flächen wissen 301Die Fläche innerhalb von definierten Grenzen bestimmen 303Wie groß ist die Fläche … 305… zwischen Funktion und x-Achse 305… zwischen zweiFunktionen 306Welche Grenzen müssen Sie wählen, um eine gegebene Fläche zu bekommen? 308Teil VII Mengenlehre – Der Urknall Der Mathematik 311Kapitel 23 Mengenlehre begreifen, um die Mathematik zu verstehen 313Aus was besteht denn eigentlich eine Menge? 313Mengen einfach definieren und darstellen 315Eigenschaften 316Venn-Diagramm 317Aufzählungen 318Keine Angst vor den Beziehungen 318Teilmenge 318Durchschnittsmenge 320Vereinigungsmenge 320Negation 321Welche Arten von Symmetrie kann eine Struktur haben? 321Wofür Gesetze so alles gut sind 322Klasseneinteilungen klar erzeugen und beweisen 324Zahlenmengen machen die Welt verständlich 325Kapitel 24 Wer behauptet, aus negativen Zahlen gebe es keine Wurzeln, der lügt 329Die komplexe Zahl passt in die bisherige Zahlenwelt 329Die besondere Rolle des Imaginärteils 331Was gehört denn sonst noch so zu einer komplexen Zahl? 332Darstellungsmöglichkeiten einer komplexen Zahl 334Jetzt müssen Sie nur noch mit den neuen Zahlen rechnen 334Teil VIII Der Top-ten-teil 337Kapitel 25 Zehn Schritte die Ihre Effektivität steigern 339Verstehen Sie die Sprache? 339HabenSie auch genugtrainiert? 339Eine Aufgabe ist kein Problem, sondern eine Herausforderung! 340Wissen Sie auch, wo was steht? 341Was haben Sie und was suchen Sie? 341Gut geschätzt ist halb gewonnen 342Der Funktionsgraph hilft Ihnen 342Kleine Schritte führen sicher zumZiel 342NutzenSie meine neuen Methoden! 343Hinterfragen Sie Ihre Ergebnisse! 343Anhang A: Lösungen 345Stichwortverzeichnis 397