Mathematik für Ingenieure II für Dummies

J. Michael Fried hat an der Universität Freiburg in Angewandter Mathematik promoviert. Seit 2005 ist er Akademischer Rat am Lehrstuhl für Angewandte Mathematik III an der Universität Erlangen-Nürnberg und hält insbesondere Übungen und Vorlesungen zur Mathematik für Ingenieure. Als Mitglied der Studienkommission für Ingenieure der Elektrotechnik, Elektronik und Informationstechnik ist er mitverantwortlich für die Planung der Mathematikausbildung der Ingenieure.

• Über den Autor 7Danksagung 7Einleitung 19Zu diesem Buch 19Konventionen in diesem Buch 20Törichte Annahmen über den Leser 20Wie dieses Buch aufgebaut ist 21Teil I: Mehrdimensionale Analysis für Ingenieure 21Teil II: Integralrechnung und Vektoranalysis 21Teil III: Gewöhnliche Differentialgleichungen 22Teil IV: Funktionentheorie 22Teil V: Der Top-Ten-Teil 23Symbole in diesem Buch 23Wie es weitergeht 24Teil I: Mehrdimensionale Analysis für Ingenieure 25Kapitel 1 Was bisher geschah 27Grundlagen aus der linearen Algebra 27Vektor- und Matrizenrechnung 28Lineare Gleichungssysteme und das Gauß-Verfahren 31Eigenwerte, Eigenvektoren und die Definitheit von Matrizen 36Eindimensionale Analysis 37Folgen, Häufungspunkte und Grenzwerte 38Grenzwerte reellwertiger Funktionen und Stetigkeit 41Differenzierbarkeit und Kurvendiskussion 43Integration 47Kapitel 2 Grundlagen der Differentialrechnung im ℝ𝒏51Unsere Welt ist mehrdimensional 51Viele Variablen und ein Funktionswert 52Einmal sehen ist besser als hundertmal hören: Graphische Darstellung 53Viele Wege führen dahin: Stetigkeit 56Abbildungen zwischen mehrdimensionalen Räumen 58Ableiten bis zum Abwinken: Totale Differenzierbarkeit 59Nur einen Teil: Die partielle Ableitung 59Totale Differenzierbarkeit 63Was heißt das denn? Charakterisierungen der Differenzierbarkeit 64Praktische Berechnung der totalen Ableitung 68Richtungsableitungen 71Und weiter so! Ableitungen höherer Ordnung 72In eine Richtung: Partielle Ableitungen höherer Ordnung 72Vorsicht: Vertauschen partieller Ableitungen geht nicht immer! 74Kapitel 3 Darf’s noch etwas mehr sein? Mehr Differentialrechnung 77Die Kettenregel, eine alte Bekannte 78Eindimensionales in höherdimensionalen Räumen: Kurven 78Achtung, Schleudergefahr: Ableitung entlang einer Kurve 79Und nun überall: Die Kettenregel bei Koordinatentransformationen 81Kettenregel kurz und knapp mit der Jacobi-Matrix 84In voller Pracht: Die Formel für die allgemeine Kettenregel 85Höhere Ableitungen, Differentialoperatoren und mathematische Schreibfaulheit 87Zweite Ableitungen sammeln: Hesse-Matrix 87Div, rot, grad und der Laplace-Operator 88Der Mittelwertsatz 90Der Mittelwertsatz im Mehrdimensionalen 90Kapitel 4 Erste Anwendungen der mehrdimensionalen Differentialrechnung 93Die Taylorsche Formel 94Beispielhaft zweidimensionale Funktionen approximieren 94Einige Spezialfälle zur Taylorschen Formel 95Das Newton-Verfahren 97Das eindimensionale Newton-Verfahren 97Das Newton-Verfahren im mehrdimensionalen Fall 104Von hinten durch die Brust ins Auge: Implizite Funktionen 107Implizite Funktionen im Eindimensionalen 108Mehrdimensionale implizite Funktionen 111Kapitel 5 Optimierung 115Berggipfel und tiefste Schluchten: Extremstellen 115Höher als die Umgebung? Oder am allerhöchsten? 116Weniger geht nicht: Unrestringierte Optimierung 116Kritisch! Eine notwendige Bedingung für lokale Extrema 117Stationäre Punkte und Tangentialebenen 118Ganz sicher: Hinreichende Optimalitätsbedingung 120Informationen durch die Hesse-Matrix: Höhen, Tiefen und Sattelpunkte 120Und wie ist’s denn nun? Ein einfacher Positivitätstest 122Restringierte Optimierung 124Die Sache mit den Nebenbedingungen 124Direkt zum Ziel: Die explizite Methode 125Der indirekte Weg: Lagrange-Multiplikatoren 128Problemvergrößerung erleichtert die Lösung 130Jetzt schreckt nichts mehr: Mehrere Nebenbedingungen 134Teil II: Integralrechnung und Vektoranalysis 135Kapitel 6 Integralrechnung in zwei oder drei Dimensionen 137Bauklötzchen oder: Die zweidimensionale Integration 138Wir basteln uns ein Integral 139Messbare Mengen und Flächeninhalt 141Flächeninhalt durch Integration berechnen 143Projizierbare Mengen 143Zweimal eins ist zwei 146Integralberechnung ganz praktisch: Beispiele 146Die zweidimensionale Substitutionsregel 149Rundes gerade biegen: Polarkoordinaten 151Im Raum geht das auch: Dreidimensionale Integration 155Dreidimensionale Projizierbarkeiten 156Drei Integrationen zur dreidimensionalen Integration 157Krumme Volumina und Integration im Raum 159Substitutionsregel dreidimensional 161Etwas Physik: Masse, Schwerpunkt und Trägheitsmomente 166Kapitel 7 Fäden durch den Raum: Kurvenintegrale 171Punkte und Kurven im dreidimensionalen Raum 171Wandern mathematisch: Wege und Kurven im ℝ3 172Differenzierbare Wege oder Geschwindigkeit! 173Kurven mit und ohne Ecken! 174Eine Fahrschule: Rechenregeln für differenzierbare Wege 175Orientierungslos im Raum: Kurvenintegrale über Skalarfelder 177Kurvenintegrale ohne Orientierung 178Dieselbe Kurve – Unabhängigkeit von der Parametrisierung 180Drahtspiele: Bogenlänge, Masse und Schwerpunkt 180Orientierte Kurvenintegrale 184Da entlang: Kurven mit Richtung 184Einbahnstraße: Der Tangenteneinheitsvektor 184Der Weg ist das Ziel: Orientierung und Parametrisierung 186Viele, viele Pfeile: Vektorfelder 187Arbeit ist – ein orientiertes Kurvenintegral! 187Da könnte doch etwas sein: Potentialfelder 190Gibt es Stammfunktionen für Vektorfelder? 191Stammtischfähig: Konservative Vektorfelder 192Integrieren kann so schön sein: Der erste Hauptsatz für Kurvenintegrale 193Kurvenintegrale über Potentialfelder sind wegunabhängig! 194Integrabilitätsbedingungen oder: Der zweite Hauptsatz 196Das Potential ausschöpfen: Berechnung einer Stammfunktion 198Kapitel 8 Eine Dimension nach oben: Flächenintegrale 203Flächen im dreidimensionalen Raum 203Mathematische Darstellungen von Flächen im Raum 203Voll normal: Reguläre Bereiche 206Nur nicht ausrutschen! Glatte Flächen 208Koordinatensysteme auf glatten Flächen 210Flächen mit Knick: Stückweise glatt 211Jede Menge parametrisierter Flächen: Beispiele 212Wie groß ist eine gebogene Fläche? 216Viele kleine Plättchen: Auf dem Weg zum Flächeninhalt 217Eine Formel für den Flächeninhalt 219Jede Menge Inhalt: Formeln für bestimmte Flächeninhalte 220Flächenintegrale mit und ohne Orientierung 222Skalarfelder auf Flächen: Orientierungslos 222Mit Orientierung: Vektorfelder über Flächen integrieren 223Alles fließt: Eine physikalische Deutung 224Kapitel 9 Die hohe Kunst der Vektoranalysis: Integralsätze 227Differentialoperatoren und Integralrechnung 228Differentialoperatoren: Laplace-Operator, Divergenz und Rotation 228Operatoroperationen mit dem Nabla-Operator 230Es wirbelt herum: Rotation und Potentialfelder 231Rechenregeln zu Rotation, Divergenz und Gradient 235Noch mehr Rechenregeln 236Harmonie unter Funktionen 238Der Gaußsche Integralsatz 238Oben und unten: Orientierung glatter Flächen 239Quellen, Senken und der Fluss durch die Oberfläche 241Die Sätze von Kelvin-Stokes und Green 244Der Greensche Integralsatz 247Teil III: Gewöhnliche Differentialgleichungen 249Kapitel 10 Es ändert sich: Wie funktioniert’s? Grundlegende Fragestellung bei Differentialgleichungen 251Was sind Differentialgleichungen? 251Gewöhnlich oder partiell: Definitionen 251Vom Pendel zum Räuber-Beute-Modell: Überall Differentialgleichungen 252Ordnung muss sein: Die allgemeine Form einer gewöhnlichen Differentialgleichung 254Gibt’s das und, wenn ja, wie viele? Existenz und Eindeutigkeit 255Langsam anfangen: Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung 256Am Anfang der Anfangswert und dann? Anfangswertprobleme 257Das gibt’s! Der Satz von Picard-Lindelöf 258Graphische Veranschaulichungen 262Das Richtungsfeld 262Nicht aus »Star Trek«: Die Isoklinen 263Kapitel 11 Kochrezepte: Explizite Lösungsmethoden für spezielle gewöhnliche Differentialgleichungen 265Die exakte Differentialgleichung 266Was eine Differentialgleichung exakt macht: Die Potentialfunktion! 266Wieder einmal: Konservative Vektorfelder 267Implizite Lösungen einer exakten Differentialgleichung 268Unpassendes passend machen: Integrierende Faktoren 271Separable Differentialgleichungen 273Oh, das ist ja exakt! 273Ähnlich die Ähnlichkeits-Differentialgleichungen! 275Lineare Differentialgleichungen 277Kapitel 12 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung 283Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung 283Alles in einem: Die allgemeine Form einer linearen Differentialgleichung 284Funktionale Vektoren oder: Lineare Algebra im Funktionenraum 285Lineare Unabhängigkeit von Funktionen 285Ein grundlegender Ableitungsoperator 287Jede lineare Differentialgleichung hat ihren eigenen Operator 288Die homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung 289Rückkehr der Kerne: Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung 289Ganz grundlegend: Das Fundamentalsystem 290Funktionen im Karree: Die Wronski-Matrix 292Die inhomogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung 293Lösung der inhomogenen Differentialgleichung 293Spezielle Lösung durch Variation der Konstanten 294Das Reduktionsverfahren von d’Alembert 297Kapitel 13 Spezielle lineare Differentialgleichungen 301Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 301Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung 303Das charakteristische Polynom 304Lösungen bei reellen Nullstellen 304Lösungen bei komplexen Nullstellen 305Ein spezielles Fundamentalsystem 307Schritt für Schritt zur Lösung 308Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung 310Spezielle rechte Seiten 311Die Eulersche Differentialgleichung 316Ein Lösungsverfahren zur Eulerschen Differentialgleichung 316Kapitel 14 Systeme linearer Differentialgleichungen 323Allgemeine lineare Differentialgleichungssysteme 323Schreibweisen: Vektorwertige Funktionen oder ein Vektor von Funktionen 324Was ist ein Differentialgleichungssystem? 324Zwei Seiten der Medaille: Eine lineare Differentialgleichung als Differentialgleichungssystem 327Gibt’s denn das? Existenz und Eindeutigkeit bei Differentialgleichungssystemen 329Das alte Spiel: Lösungsmethode für lineare Differentialgleichungssysteme 330Eins: Die Fundamentalmatrix des linearen Systems 330Zwei: Die allgemeine Lösung homogener linearer Systeme 332Drei: Die allgemeine Lösung des inhomogenen linearen Systems 333Noch einmal: Die Variation der Konstanten 334Spezieller: Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten 337Kein bisschen kompliziert: Komplexwertige Lösungen 337Schon wieder die Exponentialfunktion: Lösung des homogenen Systems 338Eigenwerte liefern Lösungen 339Auf dem Weg zum Fundamentalsystem 340Einfache Eigenwerte: Reell – geschenkt! 340Lösungspärchen bei einfachen komplexen Eigenwerten 341Hauptvektoren 346Die Matrix-Exponentialfunktion 349Lösung des homogenen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten 352Teil IV: Funktionentheorie 359Kapitel 15 Überhaupt nicht hohl: Holomorphe Funktionen 361Funktionentheorie oder komplexe Analysis 361Fast wie im Reellen: Folgen komplexer Zahlen 361Teuflische Tücke im Detail: Die komplexe Ableitung 364Na, so was! Schon wieder Differentialgleichungen: Cauchy-Riemann 365Dem Kind einen Namen geben: Holomorphe Funktionen 366Verwaltungsfreude: Regeln für die komplexe Ableitung 367Kapitel 16 Komplexe Integration 371Vorsichtig anfangen: eindimensionale Integration im Komplexen 371Teilen, teilen! Integrale komplexwertiger reeller Funktionen 371Krumme Linien: Das komplexe Kurvenintegral 372Es geht! Praktische Berechnung komplexer Kurvenintegrale 373Viel mehr zu komplexen Kurvenintegralen! 376Richtungsweisend: Orientierte Integrale 377Das berühmte Beispiel von Cauchy 378Der Integralsatz von Cauchy 379Fast alles verschwindet! 379Ein bisschen beweisen: Beweisskizze zum Integralsatz 379Noch einmal: Das Cauchy-Beispiel und eine Folgerung 380Böse Stellen: Die Singularitäten 381Igitt, eine Singularität! 382Da bleibt doch was … das Residuum 383Das ist ja einfach! Berechnung des Residuums für Polstellen 1. Ordnung 383Kurvenintegrale um Singularitäten 384Singularitäten links liegen lassen: Der Residuensatz 384Hilfe bei reellen Integralen: Komplexe Umwege vereinfachen die Integration 385Kapitel 17 Potenz- und Laurentreihen 389Mal wieder Potenzreihen – diesmal komplex! 389Nach altem Rezept: Die Potenzreihen 389Diesmal wirklich: Konvergenzkreise 390Im Kreis: Potenzreihen sind holomorph! 391Trost bei Singularitäten: Laurentreihen 393Laurentreihen, Residuen und Cauchys Integralformel 397Einige besondere Eigenschaften holomorpher Funktionen 400Funktionswerte und Kurvenintegrale holomorpher Funktionen 401Identitätssatz und Maximumsprinzip für holomorphe Funktionen 402Der Fundamentalsatz der Algebra 403Teil V: Der Top-Ten-Teil 405                  Kapitel 18 Fast zehn Tipps und Tricks, um einen Mathekurs zu überstehen 407Die Schwierigkeiten der höheren Mathematik 407Wozu das Ganze gut ist 408Nicht lockerlassen! 408Der Unterschied zwischen einer Mathematikvorlesung und einer Theatervorstellung 409Immer noch: Glauben Sie nichts! 410Üben Sie! Üben Sie! 410Abbildungsverzeichnis 411Stichwortverzeichnis 413