Prof. Dr. Andreas Rieder lehrt und forscht an den Instituten für Praktische Mathematik und für Wissenschaftliches Rechnen und Mathematische Modellbildung der Universität Karlsruhe (TH).

• 1 Einführung: Was ist ein inverses Problem?.- 1.1 Computer-Tomographie.- 1.2 Impedanz-Tomographie.- 1.3 Ein inverses Streuproblem: Ultraschall-Tomographie.- 1.4 Inverse Wärmeleitungsprobleme.- 1.5 Abstrakte Formulierung inverser Probleme.- 1.6 Übungsaufgaben.- 2 Schlecht gestellte Operatorgleichungen.- 2.1 Verallgemeinerte Inverse (Moore-Penrose-Inverse).- 2.2 Kompakte Operatoren.- 2.3 Singulärwertzerlegung kompakter Operatoren.- 2.4 Ein Funktionalkalkül für kompakte Operatoren.- 2.5 Ein weiteres Beispiel zur SWZ: Die Radon-Transformation.- 2.6 Übungsaufgaben.- 3 Regularisierung linearer Probleme und Optimalität.- 3.1 Vorbetrachtungen.- 3.2 Klassifizierung von Regularisierungsverfahren.- 3.3 Eine allgemeine Theorie linearer Regularisierungen.- 3.4 Das Diskrepanzprinzip.- 3.5 Ein verallgemeinertes Diskrepanzprinzip.- 3.6 Heuristische („?-freie“) Parameterstrategien.- 3.7 Übungsaufgaben.- 4 Tikhonov-Phillips-Regularisierung.- 4.1 Verallgemeinerte Tikhonov-Phillips-Regularisierung.- 4.2 Iterierte Tikhonov-Phillips-Regularisierung.- 4.3 Übungsaufgaben.- 5 Iterative Regularisierungen.- 5.1 Landweber-Verfahren.- 5.2 Semi-iterative Verfahren.- 5.3 Das Verfahren der konjugierten Gradienten (cg-Verfahren).- 5.4 Übungsaufgaben.- 6 Diskretisierung und Regularisierung.- 6.1 Projektionsverfahren.- 6.2 Regularisierung von Projektionsverfahren.- 6.3 Semi-diskrete Probleme: Die Approximative Inverse.- 6.4 Übungsaufgaben.- 7 Nichtlineare schlecht gestellte Probleme.- 7.1 Lokale Schlechtgestelltheit.- 7.2 Fréchet-Differenzierbarkeit.- 7.3 Charakterisierung nichtlinearer schlecht gestellter Probleme.- 7.4 Nichtlineare Tikhonov-Phillips-Regularisierung.- 7.5 Iterative Methoden vom Newton-Typ.- 7.6 Übungsaufgaben.- 8 Anhang: Grundbegriffe aus der Funktionalanalysis.- 8.1Normierte Räume und lineare Abbildungen.- 8.2 Drei Hauptsätze der Funktionalanalysis.- 8.3 Innenprodukträume.

Prof. Dr. Andreas Rieder lehrt und forscht an den Instituten für Praktische Mathematik und für Wissenschaftliches Rechnen und Mathematische Modellbildung der Universität Karlsruhe (TH).

• 1 Einführung: Was ist ein inverses Problem?.- 1.1 Computer-Tomographie.- 1.2 Impedanz-Tomographie.- 1.3 Ein inverses Streuproblem: Ultraschall-Tomographie.- 1.4 Inverse Wärmeleitungsprobleme.- 1.5 Abstrakte Formulierung inverser Probleme.- 1.6 Übungsaufgaben.- 2 Schlecht gestellte Operatorgleichungen.- 2.1 Verallgemeinerte Inverse (Moore-Penrose-Inverse).- 2.2 Kompakte Operatoren.- 2.3 Singulärwertzerlegung kompakter Operatoren.- 2.4 Ein Funktionalkalkül für kompakte Operatoren.- 2.5 Ein weiteres Beispiel zur SWZ: Die Radon-Transformation.- 2.6 Übungsaufgaben.- 3 Regularisierung linearer Probleme und Optimalität.- 3.1 Vorbetrachtungen.- 3.2 Klassifizierung von Regularisierungsverfahren.- 3.3 Eine allgemeine Theorie linearer Regularisierungen.- 3.4 Das Diskrepanzprinzip.- 3.5 Ein verallgemeinertes Diskrepanzprinzip.- 3.6 Heuristische („?-freie“) Parameterstrategien.- 3.7 Übungsaufgaben.- 4 Tikhonov-Phillips-Regularisierung.- 4.1 Verallgemeinerte Tikhonov-Phillips-Regularisierung.- 4.2 Iterierte Tikhonov-Phillips-Regularisierung.- 4.3 Übungsaufgaben.- 5 Iterative Regularisierungen.- 5.1 Landweber-Verfahren.- 5.2 Semi-iterative Verfahren.- 5.3 Das Verfahren der konjugierten Gradienten (cg-Verfahren).- 5.4 Übungsaufgaben.- 6 Diskretisierung und Regularisierung.- 6.1 Projektionsverfahren.- 6.2 Regularisierung von Projektionsverfahren.- 6.3 Semi-diskrete Probleme: Die Approximative Inverse.- 6.4 Übungsaufgaben.- 7 Nichtlineare schlecht gestellte Probleme.- 7.1 Lokale Schlechtgestelltheit.- 7.2 Fréchet-Differenzierbarkeit.- 7.3 Charakterisierung nichtlinearer schlecht gestellter Probleme.- 7.4 Nichtlineare Tikhonov-Phillips-Regularisierung.- 7.5 Iterative Methoden vom Newton-Typ.- 7.6 Übungsaufgaben.- 8 Anhang: Grundbegriffe aus der Funktionalanalysis.- 8.1Normierte Räume und lineare Abbildungen.- 8.2 Drei Hauptsätze der Funktionalanalysis.- 8.3 Innenprodukträume.

Prof. Dr. Andreas Rieder lehrt und forscht an den Instituten für Praktische Mathematik und für Wissenschaftliches Rechnen und Mathematische Modellbildung der Universität Karlsruhe (TH).

• 1 Einführung: Was ist ein inverses Problem?.- 1.1 Computer-Tomographie.- 1.2 Impedanz-Tomographie.- 1.3 Ein inverses Streuproblem: Ultraschall-Tomographie.- 1.4 Inverse Wärmeleitungsprobleme.- 1.5 Abstrakte Formulierung inverser Probleme.- 1.6 Übungsaufgaben.- 2 Schlecht gestellte Operatorgleichungen.- 2.1 Verallgemeinerte Inverse (Moore-Penrose-Inverse).- 2.2 Kompakte Operatoren.- 2.3 Singulärwertzerlegung kompakter Operatoren.- 2.4 Ein Funktionalkalkül für kompakte Operatoren.- 2.5 Ein weiteres Beispiel zur SWZ: Die Radon-Transformation.- 2.6 Übungsaufgaben.- 3 Regularisierung linearer Probleme und Optimalität.- 3.1 Vorbetrachtungen.- 3.2 Klassifizierung von Regularisierungsverfahren.- 3.3 Eine allgemeine Theorie linearer Regularisierungen.- 3.4 Das Diskrepanzprinzip.- 3.5 Ein verallgemeinertes Diskrepanzprinzip.- 3.6 Heuristische („?-freie“) Parameterstrategien.- 3.7 Übungsaufgaben.- 4 Tikhonov-Phillips-Regularisierung.- 4.1 Verallgemeinerte Tikhonov-Phillips-Regularisierung.- 4.2 Iterierte Tikhonov-Phillips-Regularisierung.- 4.3 Übungsaufgaben.- 5 Iterative Regularisierungen.- 5.1 Landweber-Verfahren.- 5.2 Semi-iterative Verfahren.- 5.3 Das Verfahren der konjugierten Gradienten (cg-Verfahren).- 5.4 Übungsaufgaben.- 6 Diskretisierung und Regularisierung.- 6.1 Projektionsverfahren.- 6.2 Regularisierung von Projektionsverfahren.- 6.3 Semi-diskrete Probleme: Die Approximative Inverse.- 6.4 Übungsaufgaben.- 7 Nichtlineare schlecht gestellte Probleme.- 7.1 Lokale Schlechtgestelltheit.- 7.2 Fréchet-Differenzierbarkeit.- 7.3 Charakterisierung nichtlinearer schlecht gestellter Probleme.- 7.4 Nichtlineare Tikhonov-Phillips-Regularisierung.- 7.5 Iterative Methoden vom Newton-Typ.- 7.6 Übungsaufgaben.- 8 Anhang: Grundbegriffe aus der Funktionalanalysis.- 8.1Normierte Räume und lineare Abbildungen.- 8.2 Drei Hauptsätze der Funktionalanalysis.- 8.3 Innenprodukträume.