Zahlentheorie

Prof. Helmut Koch ist Mathematiker an der Humboldt Universität Berlin.

"Dieses sehr sorgfaltig verfasste Buch [...] kann allen Studierenden, die sich fur die Zahlentheorie interessieren, warmstens empfohlen werden." (Monatshefte fur Mathematik 3/99)

• 1 Einleitung.- 1.1 Pythagoräische Zahlentripel.- 1.2 Die Pellsche Gleichung.- 1.3 Die Fermatsche Vermutung.- 1.4 Kongruenzen.- 1.5 Public Key Cryptology.- 1.6 Quadratische Reste.- 1.7 Primzahlverteilung.- 1.8 Der Primzahlsatz.- 2 Die Geometrie der Zahlen.- 2.1 Binäre quadratische Formen.- 2.2 Vollständige zerlegbare Formen n-ten Grades.- 2.3 Moduln und Ordnungen.- 2.4 Vollständige Moduln in endlichen Erweiterungen von P.- 2.5 Die ganzen Zahlen quadratischer Zahlkörper.- 2.6 Weitere Beispiele für die Bestimmung einer Z-Basis.- 2.7 Die Endlichkeit der Klassenzahl.- 2.8 Die Einheitengruppe.- 2.9 Ansatz zum Beweis des Dirichletschen Einheitensatzes.- 2.10 Der Rang von 1(E).- 2.11 Der Regulator einer Ordnung.- 2.12 Der Gitterpunktsatz.- 2.13 Die Minkowskische Geometrie der Zahlen.- 2.14 Anwendung auf vollständige zerlegbare Formen.- 3 Die Dedekindsehe Idealtheorie.- 3.1 Grundlegende Definitionen.- 3.2 Der Hauptsatz der Dedekindschen Idealtheorie.- 3.3 Folgerungen aus dem Hauptsatz.- 3.4 Die Umkehrung des Hauptsatzes.- 3.5 Die Norm eines Ideals.- 3.6 Kongruenzen.- 3.7 Lokalisierung.- 3.8 Die Zerlegung eines Primideals in einer endlichen Erweiterung.- 3.9 Die Klassengruppe eines algebraischen Zahlkörpers.- 3.10 Relative Erweiterungen.- 3.11 Geometrische Deutung.- 3.12 Differente und Diskriminante.- 4 Bewertungen.- 4.1 Bewertete Körper.- 4.2 Die Bewertungen des Körpers der rationalen Zahlen.- 4.3 Vervollständigung.- 4.4 Vollständige Körper bezüglich einer diskreten Bewertung.- 4.5 Fortsetzung einer Bewertung eines vollständigen Körpers.- 4.6 Endliche Erweiterungen eines vollständigen Körpers.- 4.7 Vollständige Körper mit endlichem Restklassenkörper.- 4.8 Fortsetzung der Bewertung eines beliebigen Körpers.- 4.9 Die Arithmetik im Kompositum zweierErweiterungen.- 5 Algebraische Funktionen einer Unbestimmten.- 5.1 Algebraische Funktionenkörper.- 5.2 Die Stellen eines algebraischen Funktionenkörpers.- 5.3 Der einem Divisor zugeordnete Funktionenraum.- 5.4 Differentiale.- 5.5 Erweiterungen des Konstantenkörpers.- 5.6 Der Satz von Riemann-Roch.- 5.7 Funktionenkörper vom Geschlecht 0.- 5.8 Funktionenkörper vom Geschlecht 1.- 6 Normale Erweiterungen.- 6.1 Zerlegungsgruppe und Verzweigungsgruppen.- 6.2 Neuer Beweis des Dedekindschen Differentensatzes.- 6.3 Primidealzerlegung in einem Zwischenkörper.- 6.4 Kreisteilungskörper.- 6.5 Der erste Fall der Fermatschen Vermutung.- 6.6 Lokalisierung.- 6.7 Die obere Numerierung der Verzweigungsgruppen.- 6.8 Kummersche Erweiterungen.- 7 L-Reihen.- 7.1 Von der Riemannschen ?-Funktion zu den Heckeschen L-Reihen.- 7.2 Normierte Bewertungen.- 7.3 Adele.- 7.4 Idele.- 7.5 Ideleklassengruppe und Strahlklassengruppe.- 7.6 Hecke-Charaktere.- 7.7 Analysis auf lokalen additiven Gruppen.- 7.8 Analysis auf der Adelegruppe.- 7.9 Die multiplikative Gruppe eines lokalen Körpers.- 7.10 Die lokale Funktionalgleichung.- 7.11 Berechnung von ?(c) für K = R.- 7.12 Berechnung von ?(c) für K = C.- 7.13 Berechnung der ?-Faktoren für K nicht-archimedisch.- 7.14 Beziehungen zwischen ?-Faktoren.- 7.15 Analysis auf der Idelegruppe.- 7.16 Globale ?-Funktionen.- 7.17 Die Dedekindsche ?-Funktion.- 7.18 Heckesche L-Reihen.- 7.19 Kongruenz-Zetafunktionen.- 8 Anwendungen der Heckeschen L-Reihen.- 8.1 Die Zerlegung von Primzahlen in algebraischen Zahlkörpern.- 8.2 Das Nichtverschwinden der L-Reihen an der Stelle 1.- 8.3 Die Verteilung von Primidealen in algebraischen Zahlkörpern.- 8.4 Die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung.- 9 Quadratische Zahlkörper.- 9.1 Quadratische Formen und Ordnungenin quadratischen Zahlkörpern.- 9.2 Berechnung der Klassenzahl imaginär-quadratischer Zahlkörper.- 9.3 Kettenbrüche.- 9.4 Periodische Kettenbrüche.- 9.5 Die Grundeinheit in Ordnungen von reell-quadratischen Zahlkörpern.- 9.6 Der Charakter eines quadratischen Zahlkörpers.- 9.7 Die arithmetische Klassenzahlformel.- 9.8 Die Berechnung der Gaußschen Summe.- 10 Ausblick.- 10.1 Absolut-abelsche Erweiterungen.- 10.2 Der Klassenkörper zur Strahlklassengruppe.- 10.3 Lokale Klassenkörpertheorie.- 10.4 Formulierung der Klassenkörpertheorie mit Hilfe von Idelen.- A Teilbarkeitstheorie.- A.1 Teilbarkeit in Monoiden.- A.2 Hauptidealringe.- A.3 Euklidische Ringe.- A.4 Endlich erzeugte Moduln über Hauptidealringen.- A.5 Moduln über Euklidischen Ringen.- A.6 Arithmetik von Polynomen über Ringen.- B Spur, Norm, Differente und Diskriminante.- C Harmonische Analyse auf lokalkompakten abelschen Gruppen.- C.1 Topologische Gruppen.- C.2 Der Pontrjaginsche Dualitätssatz.- C.3 Das Haarsche Integral.- C.4 Das beschränkte direkte Produkt.- C.5 Die Poissonsche Summenformel.- Sachwortverzeichnis.