vieweg studium; Aufbaukurs Mathematik – serie

Beginnend mit der Fragestellung nach zuverlässiger Datenübertragung wird die elementare lineare Codierungstheorie dargestellt. Insbesondere wird das Problem der Konstruktion von optimalen Codes herausgearbeitet. Dieses anspruchsvolle Problem wird mit Mitteln der algebraischen Geometrie gelöst. Das Buch liefert einen schnellen elementaren Zugang zu den algebraischen Kurven und führt den Leser an die grundlegenden Sätze von Bezout und Riemann-Roch heran. Weiterhin werden klassische Fragen von E. Artin und A. Weil über die Zetafunktion eines algebraischen Funktionenkörpers ebenfalls vollständig behandelt. Außerdem werden algebraische Kurven über endlichen Körpern mit vielen rationalen Punkten konstruiert. Nach der mehr theoretischen Lösung des Problems optimaler Codes wird abschließend der algorithmische Zugang von der Codierung bis zur Decodierung behandelt.

Dies ist ein neues und modernes Lehrbuch über Topologie. Hauptgegenstand des Buches sind Homologie-, Kohomologietheorien und Mannigfaltigkeiten. Die ersten acht Kapitel geben eine Einführung in die "Algebraische Topologie": es werden Begriffe wie Homologie, CW-Komplexe, Produkte und Poincare Dualitäte eingeführt und deren Anwendungen diskutiert. In den davon unabhängigen Kapiteln 9 bis 13 werden Differentialformen und der Satz von Stokes auf Mannigfaltigkeiten behandelt. Diese Kapitel sind geeignet für eine Vorlesung "Analysis III" oder "Analysis auf Mannigfaltigkeiten". Die in den letzten beiden Kapiteln behandelte de Rham Kohomologie und der Satz von de Rham verbinden diese beiden Teile. Die Darstellung ist komprimiert und kommt schnell auf das Wesentliche, das Buch ist vielseitig in der Lehre einsetzbar.

Das vorliegende Buch (wie auch seine Fortsetzung) ist aus Vorlesungen entstanden, die ich seit einigen Jahren an der Universität Göttingen halte. Diese Vorlesungen wenden sich an Studentinnen und Studenten der Mathematik und Physik ab dem dritten Semester. Daher werden auch in diesem Buch Kenntnisse der Analysis bzw. der linearen Algebra vorausgesetzt, wie sie üblicherweise in den ersten beiden bzw. dem ersten Semester vermittelt werden. Andererseits bietet gerade eine Vorlesung über numerische Mathematik eine gute Möglichkeit, diese Kenntnisse aufzufrischen, da die eigentlich schon bekannten Grundbegriffe in einem neuen Zusammenhang er­ scheinen. Das entsprechende gilt, so hoffe ich, auch für dieses Buch. Ziel beim Schreiben dieses Buches war es, den beiden Worten im Titel "Nume­ rische Mathematik" gerecht zu werden. Hierzu soll gezeigt werden, daß der Durch­ und "ästhetisch befriedigender Ma­ schnitt zwischen "praktisch relevanter Numerik" thematik" nicht nur nichtleer, sondern sogar "ziemlich groß" ist. Um dies zu vermit­ teln, wurde eine möglichst gut lesbare Darstellung angestrebt, welche insbesondere ein Selbststudium erleichtert.

Es gibt in der Differentialgeometrie von Kurven und FJachen zwei Betrachtungsweisen. Die eine, die man klassische Differentialgeometrie nennen konnte, entstand zusammen mit den Anfangen der Differential-und Integralrechnung. Grob gesagt studiert die klassische Differentialgeometrie lokale Eigenschaften von Kurven und FHichen. Dabei verstehen wir unter lokalen Eigenschaften solche, die nur vom Verhalten der Kurve oder Flache in der Umgebung eines Punktes abhiingen. Die Methoden, die sich als fUr das Studium solcher Eigenschaften geeignet erwiesen haben, sind die Methoden der Differentialrechnung. Aus diesem Grund sind die in der Differentialgeometrie untersuchten Kurven und Flachen durch Funktionen definiert, die von einer gewissen Differenzierbarkeitsklasse sind. Die andere Betrachtungsweise ist die sogenannte globale Differentialgeometrie. Hierbei untersucht man den EinfluB lokaler Eigenschaften auf das Verhalten der gesamten Kurve oder Flache. Der interessanteste und reprasentativste Teil der klassischen Differentialgeometrie ist wohl die Untersuchung von Flachen. Beim Studium von Flachen treten jedoch in nattirlicher Weise einige 10k ale Eigenschaften von Kurven auf. Deshalb benutzen wir dieses erste Kapi­ tel, urn kurz auf Kurven einzugehen.

Dieses Buch will dem Leser eine Einfuhrung in wichtige Techniken und Methoden der heutigen reellen Algebra und Geometrie vermitteln. An Voraussetzungen werden dabei nur Grundkenntnisse der Algebra erwartet, so dass das Buch fur Studenten mittlerer Semester geeignet ist.Das erste Kapitel enthalt zunachst grundlegende Fakten uber angeordnete Korper und ihre reellen Abschlusse und behandelt dann verschiedene Methoden zur Bestimmung der Anzahl reeller Nullstellen von Polynomen. Das zweite Kapitel befasst sich mit reellen Stellen und gipfelt in Artins Losung des 17. Hilbertschen Problems. Kapitel III schliesslich ist dem noch jungen Begriff des reellen Spektrums und seinen Anwendungen gewidmet."Neben dem 1987 erschienenen "Geometrie algebrique reelle" von J. Bochnak-M. Coste- M. Roy stellt die vorliegende Monographie das erste Lehrbuch auf diesem Gebiet dar...Damit liegt eine sehr empfehlenswerte Einfuhrung...vor..." (H. Mitsch, Monatshefte fur Mathematik 3/111, 1991)

Neben den elementaren Dingen, wie Tangenten, Singularitäten und Wendepunkten werden auch schwierigere Begriffe wie lokale Zweige und Geschlecht behandelt. Höhepunkte sind die klassischen Formeln von Plücker und Clebsch, die Beziehungen zwischen verschiedenen globalen und lokalen Invarianten einer Kurve beschreiben. Im Vordergrund steht die Geometrie. Die benutzten Hilfsmittel aus Algebra, Analysis und Topologie werden ausführlich erläutert. Das Buch kann auch als erste Einführung in algebraische Geometrie und komplexe Analysis dienen.

Vor 50 Jahren gab es den Begriff "Diskrete Mathematik" nicht, und er ist auch heute im deutschen Sprachraum keineswegs gebrauchlich. Vorlesungen dazu werden nicht iiberall und schon gar nicht mit einem einheitlichen Themenkatalog angeboten (im Gegensatz zum Beispiel zu den USA, wo sie seit langem einen festen Platz haben). Die Mathematiker verstehen unter Diskreter Mathematik meist Kombinatorik oder Graphentheorie, die Informatiker Diskrete Strukturen oder Boolesche Algebren. Das Hauptanliegen dieses Buches ist daher, solch einen Themenkatalog zu prasentieren, der alle Grundlagen fiir ein weiterfiihrendes Studium enthalt. Die Diskrete Mathematik beschaftigt sich vor allem mit endlichen Mengen. Was kann man in endlichen Mengen studieren? Ais allererstes kann man sie abzahlen, dies ist das klassische Thema der Kombinatorik - in Teil I werden wir die wich­ tigsten Ideen und Methoden zur Abzahlung kennenlernen. Auf endlichen Mengen ist je nach Aufgabenstellung meist eine einfache Struktur in Form von Relationen gegeben, von denen die anwendungsreichsten die Graphen sind. Diese Aspekte fas­ sen wir in Teil II unter dem Titel Graphen uncl Algorithmen zusammen. Und schlieBlich existiert auf endlichen Mengen oft eine algebraische Struktur (oder man kann eine solche auf natiirliche Weise erklaren). Algebraische Systeme sind der Inhalt von Teil III. Diese drei Gesichtspunkte bilden den roten Faden des Buches. Ein weiterer Aspekt, der die Darstellung durchgehend pragt, betrifft den Begriff der Optimierung.

Hauptziel des Buches ist die Vermittlung des Grundbestandes der Algebraischen Zahlentheorie einschließlich der Theorie der normalen Erweiterungen bis hin zu einem Ausblick auf die Klassenkörpertheorie. Gleichberechtigt mit algebraischen Zahlen werden auch algebraische Funktionen behandelt. Dies geschieht einerseits um die Analogie zwischen Zahl- und Funktionenkörpern aufzuzeigen, die besonders deutlich im Falle eines endlichen Konstantenkörpers ist. Andererseits erhält man auf diese Weise eine Einführung in die Theorie der "höheren Kongruenzen" als eines wesentlichen Bestandteils der "Arithmetischen Geometrie".Obgleich das Buch hauptsächlich algebraischen Methoden gewidmet ist, findet man in der Einleitung auch einen kurzen Beweis des Primzahlsatzes nach Newman. In den Kapiteln 7 und 8 wird die Theorie der Heckeschen L-Reihen behandelt einschließlich der Verteilung der Primideale algebraischer Zahlkörper in Kegeln.Wie bei allen Bänden dieser Reihe, wird großer Wert auf Motivierung, Beispiele und Übungsaufgaben gelegt.Voraussetzungen: Lineare Algebra im Umfang einer zweisemestrigen Vorlesung, Algebra im Umfang einer einsemestrigen Vorlesung. Als Literatur wird hierzu empfohlen: G.Fischer, Lineare Algebra, E.Kunz, Algebra.

Dieses Buch kann als Fortsetzung der "Algebra" desselben Autors angesehen werden. Es handelt von algebraischen Varietäten im affinen und projektiven Raum, das sind die Lösungsmengen von Systemen algebraischer Gleichungen. Im Mittelpunkt stehen die grundlegenden Begriffe, wie reguläre und rationale Funktionen, Dimensionen, Singularitäten und deren Eigenschaften. Darüber hinaus wird zum Konzept des Schemas hingeführt und dessen Nutzen in der Schnitt-Theorie gezeigt. An algebraischen Hilfsmitteln wird nur das verwendet, was zu einer einführenden Vorlesung gehört. Weitergehende Techniken der kommutativen Algebra sind in einem Anhang bereitgestellt. Außerdem können Abbildungen und Übungsaufgaben dem Leser helfen, sich mit diesem besonders faszinierenden Teil der Geometrie anzufreunden.

Dieses Lehrbuch präsentiert projektive Geometrie, ein wichtiges klassisches Gebiet der Mathematik, in neuem Gewand: Ein Akzent liegt auf überraschenden und wichtigen Anwendungen von Geometrie in Codierungstheorie und Kryptographie. Dazu werden alle benötigten Teile der klassischen projektiven Geometrie (synthetische und analytische Geometrie, Quadriken) bereitgestellt.Die zweite Auflage beinhaltet zusätzliche neue interessante Anwendungen der Projektiven Geometrie, z.B. WOM-Codes (Wie kann man ein nur einmal beschreibbares Medium "mehrfach beschreiben"?) und Bewegliche Fachwerke (Wann erlaubt ein fest aussehendes Fachwerk infinitesimale Bewegungen?). Der Text wurde für die 2. Auflage gründlich überarbeitet, die Argumentation klarer gemacht, viele kleine zusätzliche Textbeiträge und Übungsaufgaben wurden ergänzt.

Dieses Lehrbuch, verfaßt von Manfredo P. do Carmo, Professor für Mathematik am Instituto de Matematica Pura e Aplicada (IMPA) in Rio de Janeiro, ist eine Einführung in die elementare Differentialgeometrie, die mehr Wert auf die grundlegenden geometrischen Tatsachen als auf den Formalismus legt.In jedem Kapitel werden einige einfache fundamentale Ideen in den Mittelpunkt gestellt. So stützt sich Kapitel 2 auf den Begriff einer regulären Fläche in R3, ein Modell für den allgemeinen Begriff einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Die Betrachtung der Gauß- Abbildung in Kapitel 3 führt zu einem Einblick in die lokale Geometrie von Flächen in R3. Kapitel 4 zeigt, wie sich die innere Geometrie der Flächen aus dem Begriff der kovarianten Ableitung entwickeln läßt; hier wird auf den allgemeinen Begriff eines Zusammenhangs in der Riemannschen Geometrie vorbereitet.

Es werden klassische und neuere Ergebnisse der Funktionentheorie ausführlich dargestellt, z.B. homogene und inhomogene Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen, Sätze von Mittag-Leffler und Weierstraß für beliebige Gebiete, rationale Approximation, Riemannscher Abbildungssatz. Der Text wird durch zahlreiche Übungsaufgaben ergänzt. Daher ist das Buch sowohl zum Gebrauch neben Vorlesungen als auch zum Selbststudium geeignet. In der 9. Auflage wurden einige Druckfehler korrigiert.

Dieses Lehrbuch wendet sich an alle, die - ausgestattet mit Grundkenntnissen der Differential- und Intergralrechnung und der linearen Algebra - in die Ideenwelt der Stochastik eindringen möchten. Stochastik ist die Mathematik des Zufalls. Sie ist von größter Bedeutung für die Berufspraxis der Mathematiker. An vielen Schulen hat sie ihren festen Platz gefunden. Die beiden Hauptgebiete der Stochastik sind Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Die 8. Auflage enthält erweiterte historische Anmerkungen.

Das Standardwerk über Diskrete Mathematik in deutscher Sprache. Das Buch besteht aus drei Teilen: Abzählung, Graphen und Algorithmen, Algebraische Systeme, die weitgehend unabhängig voneinander gelesen werden können. Großer Wert wird auf die Übungen gelegt, die etwa ein Viertel des Textes ausmachen. Die Übungen sind nach Schwierigkeitsgrad gegliedert, im Anhang findet man Lösungen für etwa die Hälfte der Übungen. Das Buch eignet sich für Lehrveranstaltungen im Bereich Diskrete Mathematik, Kombinatorik, Graphen und Algorithmen.

Wieder ein anderes Mal, als ich vor der Tafel stand und mit Kreide allerlei Figuren zeich- te, kam mir plotzlich der Gedanke: Warum ist die Symmetrie den Augen angenehm? Was ¨ ” ist eigentlich die Symmetrie?“ – Sie ist ein angeborenes Gefu ¨hl“, gab ich mir selbst zur ” Antwort. Worauf beruht sie? Herrscht denn in allem im Leben Symmetrie? Im Gegenteil, ” da ist das Leben – “, und ich zeichnete eine ovale Figur auf die Tafel. Nach dem Leben ” geht die Seele in die Ewigkeit hinuber – da ist die Ewigkeit“ – und ich zog von der einen ¨ Seite des Ovals einen Strich bis an den Rand der Tafel. Warum ist denn auf der anderen ” Seite nicht auch ein solcher Strich? In der Tat, wie kann es denn eine einseitige Ewigkeit geben, wir haben gewiß schon vor diesem Leben existiert, obwohl wir die Erinnerung daran ¨ verloren haben. “ Diese Uberlegung, die mir außerordentlich neu und klar vorkam und deren logischen Zusammenhang ich jetzt nur mit Muhe ¨ wieder?nden kann, ge?el mir sehr, und ich nahm ein Blatt Papier, um sie schriftlich darzulegen, aber dabei kam mir eine solche Menge Gedanken in den Kopf, daß ich aufstehen mußte und im Zimmer auf und ab gehen.

Der zeitgemäße algorithmische Zugang zur Geometrie für den Bachelor/Master