From the reviews: "... I found this book to be very impressive in its scope, accessibility and the quality of writing. ... There can be few readers, even amongst those with some prior knowledge of invariant theory, for whom several of these applications will not be new and impressive. ... In summary, this beautifully produced book is highly recommended both for experts in invariant theory and newcomers to the field." J.E.Cremona, Nieuw Archief voor Wiskunde 5/4 (2003), Issue 4 "... Ein besonderer Vorteil dieses Buches ist das reichhaltige Kapitel uber Anwendungen. ... Wie die Autoren formulieren, wendet sich das Buch an Forscher im Gebiet der Geometrie, Computeralgebra und der Invariantentheorie. Es kann aber sicherlich auch fur ein Seminar verwendet werden, das auf eine einfuhrende Vorlesung zur Computeralgebra aufbaut. Da die Algorithmen zur Berechnung von fundamentalen Invarianten Grobnerbasen und algorithmische kommutative Algebra verwenden, behandelt das erste Kapitel dieses Thema. Schon hier kann man bewundern, wie knapp, prazise und auf den Punkt genau die Autoren formulieren. ... Insgesamt gesehen ist dies ein sehr schones Buch. Einige der Resultate sind nie zuvor in Buchform erschienen. ... Den einzigen Nachteil, den ich an diesem Buch finden kann, ist folgender: Ich hatte das Buch gern einige Jahre fruher zum Lesen gehabt." Karin Gaterman, Computeralgebra Rundbrief, Marz 2004 "... Dieses in wissenschaftlicher und didaktischer Hinsicht vorzugliche, ubersichtlich gestaltete, gehaltvolle Werk uber ein "wie der Phonix aus der Asche emporgestiegenes", zu neuer Blute erwachtes, klassisches Gebiet mit faszinierenden Aspekten fur Anwender, "Rechner", Theoretiker verschiedensten Niveaus, aber auch fur nur am Rande Interessierte ... bietet einen direkten Zugang (auch fortschrittenen StudentInnen) zu aktuellen Forschungsgebieten in der Infariantentheorie, Computer-Algebra, Geometrie u.a. Viele Leser, verstarkt sogar jene mit gewissen Vorkenntnissen, werden sich uber die vielen Vorzuge der Darstellung, einer gelungenen Mischung aus Theorie und Praxis, freuen: Der direkte, ballastfreie Zugang zu den verschiedenen Algorithmen (und Computerprogrammen) profitiert wesentlich von einer vollkommenen theoretischen Durchdringung der Materiak, die erst den Blick fur Wesentliches scharft. Umgekehrt werden dargestellte theoretische Aspekte durch erhellende Beispiele und Tabellen, die oft erst mit Hilfe des Computers und intelligenter Algorithmen gefunden werden konnten, rasch mit Leben erfullt. Das Wechselspiel dieser beiden Aspekte ermoglicht ein schrittweise tieferes Verstandnis auch von Resultaten, die man vielleicht schon fruher gut verstanden zu haben glaubte. (Ich meine, dass sich sogar manchen Fachdidaktikern - sofern ihnen die Mathematik wirklich ein Anliegen ist - hier eine Chance fur ein gewisses Umdenken eroffen wurde. Die Reflexion uber die Erfahung bei der Lekture bringt dazu allerdings nichts, ausser sie bewirkt ein konkretes Arbeiten im Sinne dieses Buchs.) ... Funf kurze Appendizes uber algebraische Gruppen, ihre Lie Algebra, reduktive und halbeinfache Gruppen, Wurzeln und Darstellungstheorie, ein ausfuhrliches Literaturverzeichnis und ein guter, hilfreicher Index ... runden dieses empfehlenswerte Buch ab." H.Rindler, Monatshefte fur Mathematik 141/3 (2004), p. 260-261 "I found this book to be very impressive in its scope, accessibility and the quality of writing. Prerequisites are minimal ... . this beautifully produced book is highly recommended both for experts in invariant theory and newcomers to the field." (J. E. Cremona, Nieuw Archief voor Wiskunde, Vol. 5/4 (4), 2003) "The paper under review is the first volume of the subseries 'Invariant Theory and Algebraic Transformation Groups' of the Encyclopaedia of Mathematical Sciences. The main aims of the book are centered around algorithmic methods of invariant theory, mainly with invariants of finite and linearly reductive groups. ... The text covers a lot of illustrating and instructing examples." (Peter Schenzel, Zentralblatt MATH, Vol. 1011, 2003)
