Friedrich Sauvigny - Böcker

The first of two volumes that comprehensively treat partial differential equations, this revised second edition focuses on geometric and complex variable methods involving integral representations. Topics such as Brouwer's mapping degree are treated in detail.

In two comprehensive volumes, updated and revised in a second edition, this textbook spans elliptic, parabolic, and hyperbolic types, and several variables. This second part emphasizes functional analytic methods and applications to differential geometry.

Dieses zweibändige Lehrbuch stellt das Gesamtgebiet der partiellen Differentialgleichungen - vom elliptischen,parabolischen und hyperbolischen Typ - in zwei und mehreren Veränderlichen vor.Im vorliegenden zweiten Band werden folgende Themen behandelt: Lösbarkeit von Operatorgleichungen im Banachraum, lineare Operatoren im Hilbertraum und Spektraltheorie, Schaudersche Theorie linearer elliptischer Differentialgleichungen, schwache Lösungen elliptischer Differentialgleichungen, nichtlineare partielle Differentialgleichungen und Charakteristikentheorie, nichtlineare elliptische Systeme mit differentialgeometrischen Anwendungen. Während im vorausgehenden Band die partiellen Differentialgleichungen mit Integraldarstellungen im Mittelpunkt standen, werden nun funktionalanalytische Lösungsmethoden vorgestellt. Dieses Lehrbuch kann daher für einen mehrsemestrigen Kurs verwendet werden. Fortgeschrittene Leser können jedes Kapitel auch unabhängig voneinander studieren.

Minimal Surfaces is the first volume of a three volume treatise on minimal surfaces (Grundlehren Nr. 339-341). Each volume can be read and studied independently of the others. The central theme is boundary value problems for minimal surfaces.The treatise is a substantially revised and extended version of the monograph Minimal Surfaces I, II (Grundlehren Nr. 295 & 296).The first volume begins with an exposition of basic ideas of the theory of surfaces in three-dimensional Euclidean space, followed by an introduction of minimal surfaces as stationary points of area, or equivalently, as surfaces of zero mean curvature. The final definition of a minimal surface is that of a nonconstant harmonic mapping X: \Omega\to\R^3 which is conformally parametrized on \Omega\subset\R^2 and may have branch points. Thereafter the classical theory of minimal surfaces is surveyed, comprising many examples, a treatment of Björling´s initial value problem, reflection principles, a formula of the second variation of area, the theorems of Bernstein, Heinz, Osserman, and Fujimoto.The second part of this volume begins with a survey of Plateau´s problem and of some of its modifications. One of the main features is a new, completely elementary proof of the fact that area A and Dirichlet integral D have the same infimum in the class C(G) of admissible surfaces spanning a prescribed contour G. This leads to a new, simplified solution of the simultaneous problem of minimizing A and D in C(G), as well as to new proofs of the mapping theorems of Riemann and Korn-Lichtenstein, and to a new solution of the simultaneous Douglas problem for A and D where G consists of several closed components. Then basic facts of stable minimal surfaces are derived; this is done in the context of stable H-surfaces (i.e. of stable surfaces of prescribed mean curvature H), especially of cmc-surfaces (H = const), and leads to curvature estimates for stable, immersed cmc-surfaces and to Nitsche´s uniqueness theorem andTomi´s finiteness result.In addition, a theory of unstable solutions of Plateau´s problems is developed which is based on Courant´s mountain pass lemma. Furthermore, Dirichlet´s problem for nonparametric H-surfaces is solved, using the solution of Plateau´s problem for H-surfaces and the pertinent estimates.

Minimal Surfaces is the first volume of a three volume treatise on minimal surfaces (Grundlehren Nr. 339-341). Each volume can be read and studied independently of the others. The central theme is boundary value problems for minimal surfaces.The treatise is a substantially revised and extended version of the monograph Minimal Surfaces I, II (Grundlehren Nr. 295 & 296).The first volume begins with an exposition of basic ideas of the theory of surfaces in three-dimensional Euclidean space, followed by an introduction of minimal surfaces as stationary points of area, or equivalently, as surfaces of zero mean curvature. The final definition of a minimal surface is that of a nonconstant harmonic mapping X: \Omega\to\R^3 which is conformally parametrized on \Omega\subset\R^2 and may have branch points. Thereafter the classical theory of minimal surfaces is surveyed, comprising many examples, a treatment of Björling´s initial value problem, reflection principles, a formula of the second variation of area, the theorems of Bernstein, Heinz, Osserman, and Fujimoto.The second part of this volume begins with a survey of Plateau´s problem and of some of its modifications. One of the main features is a new, completely elementary proof of the fact that area A and Dirichlet integral D have the same infimum in the class C(G) of admissible surfaces spanning a prescribed contour G. This leads to a new, simplified solution of the simultaneous problem of minimizing A and D in C(G), as well as to new proofs of the mapping theorems of Riemann and Korn-Lichtenstein, and to a new solution of the simultaneous Douglas problem for A and D where G consists of several closed components. Then basic facts of stable minimal surfaces are derived; this is done in the context of stable H-surfaces (i.e. of stable surfaces of prescribed mean curvature H), especially of cmc-surfaces (H = const), and leads to curvature estimates for stable, immersed cmc-surfaces and to Nitsche´s uniqueness theorem andTomi´s finiteness result.In addition, a theory of unstable solutions of Plateau´s problems is developed which is based on Courant´s mountain pass lemma. Furthermore, Dirichlet´s problem for nonparametric H-surfaces is solved, using the solution of Plateau´s problem for H-surfaces and the pertinent estimates.

Das Buch bietet eine moderne Darstellung der Differential- und Integralrechnung für Funktionen in einer und mehreren reellen Veränderlichen sowie in einer komplexen Variablen. Die elementaren Funktionen werden über komplexe Potenzreihen definiert und die Logarithmusfunktion auf ihrer Riemannschen Fläche betrachtet. Nachdem die eindimensionale Integration mittels reeller und komplexer Stammfunktionen durchgeführt ist, wird über das uneigentliche n-dimensionale Riemannsche Integral die Integration auf Mannigfaltigkeiten mit Hilfe von Differentialformen vorgestellt. Mit dem Lebesgueschen Integral und dessen Maßtheorie werden die Banachräume p-fach integrierbarer Funktionen eingeführt. Es werden für gewöhnliche Differentialgleichungen systematisch Existenz-, Eindeutigkeits- und Stabilitätsfragen behandelt. In einem Kapitel zur Variationsrechnung wird direkt über die Untersuchung von Geodätischen der Riemannsche Raum und sein Krümmungsbegriff vorgestellt.

In diesem Lehrbuch wird der Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren aus dem Resultat der Linearen Algebra über die Diagonalisierung Hermitescher Matrizen hergeleitet.

Dieses Lehrbuch behandelt Lehrinhalte der Analysis für die ersten drei Semester des Bachelor-Studiums der Mathematik, Physik und Informatik. Es bietet eine moderne Darstellung der Differential- und Integralrechnung für Funktionen in einer und mehreren reellen sowie einer komplexen Variablen. Elementare Funktionen werden über komplexe Potenzreihen definiert und die Logarithmusfunktion auf ihrer Riemannschen Fläche betrachtet. Nachdem die eindimensionale Integration mittels reeller und komplexer Stammfunktionen durchgeführt ist, wird über uneigentliche n-dimensionale Riemannsche Integrale die Integration auf Mannigfaltigkeiten mit Differentialformen vorgestellt. Mit dem Lebesgueschen Integral und dessen Maßtheorie wird der Banachraum der p-fach integrablen Funktionen eingeführt. Für gewöhnliche Differentialgleichungen werden Existenz-, Eindeutigkeits- und Stabilitätsfragen beantwortet. In einem Kapitel zur Variationsrechnung wird über Geodätische der n-dimensionale Riemannsche Raum präsentiert. Ferner wird das Stieltjes-Integral mit BV-Belegungsfunktionen behandelt und die Differentiation absolut stetiger Funktionen durchgeführt. Schließlich wird der stetige Dualraum zum Lebesgueraum der p-fach integrablen Funktionen über den Rieszschen Darstellungssatz bestimmt.