Hans Hermes – författare

A book about numbers sounds rather dull. This one is not. Instead it is a lively story about one thread of mathematics-the concept of "number"­ told by eight authors and organized into a historical narrative that leads the reader from ancient Egypt to the late twentieth century. It is a story that begins with some of the simplest ideas of mathematics and ends with some of the most complex. It is a story that mathematicians, both amateur and professional, ought to know. Why write about numbers? Mathematicians have always found it diffi­ cult to develop broad perspective about their subject. While we each view our specialty as having roots in the past, and sometimes having connec­ tions to other specialties in the present, we seldom see the panorama of mathematical development over thousands of years. Numbers attempts to give that broad perspective, from hieroglyphs to K-theory, from Dedekind cuts to nonstandard analysis.

This volume contains all of Frege's extant unpublished writings on philosophy and logic other than his correspondence, written at various stages of his career.

A book about numbers sounds rather dull. This one is not. Instead it is a lively story about one thread of mathematics-the concept of "number"­ told by eight authors and organized into a historical narrative that leads the reader from ancient Egypt to the late twentieth century. It is a story that begins with some of the simplest ideas of mathematics and ends with some of the most complex. It is a story that mathematicians, both amateur and professional, ought to know. Why write about numbers? Mathematicians have always found it diffi­ cult to develop broad perspective about their subject. While we each view our specialty as having roots in the past, and sometimes having connec­ tions to other specialties in the present, we seldom see the panorama of mathematical development over thousands of years. Numbers attempts to give that broad perspective, from hieroglyphs to K-theory, from Dedekind cuts to nonstandard analysis.

Das vorliegende, 1963 in erster Auflage erschienene Buch ist aus Vorlesungen hervorgegangen. Es soll eine Einführung in die klassische zweiwertige Prädikaten­ logik geben. Die Beschränkung auf die klassische Logik soll nicht besagen, daß diese Logik prinzipiell einen Vorzug vor anderen, nichtklassischen Logiken besitzt. Die klassische Logik empfiehlt sich jedoch als Einführung in die Logik wegen ihrer Einfachheit und als Fundament für die Anwendung deshalb, weil sie der klassischen Mathematik und damit den darauf aufgebauten exakten Wissenschaften zugrunde liegt. Das Buch wendet sich primär an Studierende der Mathematik, die in den An­ fängervorlesungen bereits einige grundlegende mathematische Begriffe, wie den Gruppenbegriff, kennengelernt haben. Der Leser soll dazu geführt werden, daß er die Vorteile einer Formalisierung einsieht. Der übergang von der Umgangssprache zu einer formalisierten Sprache, welcher erfahrungsgemäß gewisse Schwierigkeiten bereitet, wird eingehend besprochen und eingeübt. Die Analyse desmathemati­ schen Umgangs mit den grundlegenden mathematischen Strukturen führt in zwangloser Weise zum semantisch begründeten Folgerungsbegriff.

This book grew out of lectures. It is intended as an introduction to classical two-valued predicate logic. The restriction to classical logic is not meant to imply that this logic is intrinsically better than other, non-classical logics; however, classical logic is a good introduction to logic because of its simplicity, and a good basis for applications because it is the foundation of classical mathematics, and thus of the exact sciences which are based on it. The book is meant primarily for mathematics students who are already acquainted with some of the fundamental concepts of mathematics, such as that of a group. It should help the reader to see for himself the advantages of a formalisation. The step from the everyday language to a formalised language, which usually creates difficulties, is dis­ cussed and practised thoroughly. The analysis of the way in which basic mathematical structures are approached in mathematics leads in a natural way to the semantic notion of consequence. One of the substantial achievements of modern logic has been to show that the notion of consequence can be replaced by a provably equivalent notion of derivability which is defined by means of a calculus. Today we know of many calculi which have this property.

Die Schwierigkeit Mathematik zu lernen und zu lehren ist jedem bekannt, der einmal mit diesem Fach in Berührung gekommen ist. Begriffe wie "reelle oder komplexe Zahlen, Pi" sind zwar jedem geläufig, aber nur wenige wissen, was sich wirklich dahinter verbirgt. Die Autoren dieses Bandes geben jedem, der mehr wissen will als nur die Hülle der Begriffe, eine meisterhafte Einführung in die Magie der Mathematik und schlagen einzigartige Brücken für Studenten.Die Rezensenten der ersten beiden Auflagen überschlugen sich.

Once we have accepted a precise replacement of the concept of algo­ rithm, it becomes possible to attempt the problem whether there exist well-defined collections of problems which cannot be handled by algo­ rithms, and if that is the case, to give concrete cases of this kind. Many such investigations were carried out during the last few decades. The undecidability of arithmetic and other mathematical theories was shown, further the unsolvability of the word problem of group theory. Many mathematicians consider these results and the theory on which they are based to be the most characteristic achievements of mathe­ matics in the first half of the twentieth century. If we grant the legitimacy of the suggested precise replacements of the concept of algorithm and related concepts, then we can say that the mathematicians have shown by strictly mathematical methods that there exist mathematical problems which cannot be dealt with by the methods of calculating mathematics. In view of the important role which mathematics plays today in our conception of the world this fact is of great philosophical interest. Post speaks of a natural law about the "limitations of the mathematicizing power of Homo Sapiens". Here we also find a starting point for the discussion of the question, what the actual creative activity of the mathematician consists in. In this book we shall give an introduction to the theory of algorithms.

Once we have accepted a precise replacement of the concept of algo­ rithm, it becomes possible to attempt the problem whether there exist well-defined collections of problems which cannot be handled by algo­ rithms, and if that is the case, to give concrete cases of this kind. Many such investigations were carried out during the last few decades. The undecidability of arithmetic and other mathematical theories was shown, further the unsolvability of the word problem of group theory. Many mathematicians consider these results and the theory on which they are based to be the most characteristic achievements of mathe­ matics in the first half of the twentieth century. If we grant the legitimacy of the suggested precise replacements of the concept of algorithm and related concepts, then we can say that the mathematicians have shown by strictly mathematical methods that there exist mathematical problems which cannot be dealt with by the methods of calculating mathematics. In view of the important role which mathematics plays today in our conception of the world this fact is of great philosophical interest. Post speaks of a natural law about the "limitations of the mathematicizing power of Homo Sapiens". Here we also find a starting point for the discussion of the question, what the actual creative activity of the mathematician consists in. In this book we shall give an introduction to the theory of algorithms.

This book grew out of lectures. It is intended as an introduction to classical two-valued predicate logic. The restriction to classical logic is not meant to imply that this logic is intrinsically better than other, non-classical logics; however, classical logic is a good introduction to logic because of its simplicity, and a good basis for applications because it is the foundation of classical mathematics, and thus of the exact sciences which are based on it. The book is meant primarily for mathematics students who are already acquainted with some of the fundamental concepts of mathematics, such as that of a group. It should help the reader to see for himself the advantages of a formalisation. The step from the everyday language to a formalised language, which usually creates difficulties, is dis­ cussed and practised thoroughly. The analysis of the way in which basic mathematical structures are approached in mathematics leads in a natural way to the semantic notion of consequence. One of the substantial achievements of modern logic has been to show that the notion of consequence can be replaced by a provably equivalent notion of derivability which is defined by means of a calculus. Today we know of many calculi which have this property.

Aus den Besprechungen: "Ein Mathematikbuch der Superlativen, für Mathematiker (jeder Schattierung) und Nichtmathematiker (denen völlig unbekannte Dimensionen der Mathematik eröffnet werden - künstlerische, magische, historische, philosophische, wissenschaftstheoretische, "unlogische", phantasieerfüllte usw.). Der Aufbau ist meisterhaft, die Lektüre höchst anregend und leicht lesbar." Monatshefte für Mathematik #1 "Ein gelungenes Werk, das dem Vorurteil entgegenwirkt, Mathematik bestehe nur aus isolierten Theorien." Die NEUE HOCHSCHULE #1 "Das Lesen ist ein Genuß, den man sich nicht entgehen lassen sollte." Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung #1

Die Verbandstheorie ist in neuerer Zeit in den Vordergrund des mathematischen Interesses getreten, weil sie ebenso wie die Gruppen­ theorie im Prinzip sehr einfache Zusammenhänge betrachtet und so (fast noch mehr als die Gruppentheorie) in den verschiedensten Ge­ bieten der Mathematik Anwendung findet. Es handelt sich um die Untersuchung von Strukturen, die allgemeiner sind als geordnete Mengen, die aber mit den geordneten Mengen gemeinsam haben, daß es zu je zwei Elementen immer ein kleinstes beide umfassendes und ein größtes in beiden enthaltenes Element gibt. Das vorliegende Buch will eine Einführung in die Verbandstheorie und ihre Anwendungen geben. Die Beweise werden ziemlich ausführ­ lich dargestellt. An den meist leichten Übungsaufgaben am Ende des Paragraphen kann der Leser kontrollieren, wie weit er den Text ver­ standen hat. Die Beispiele sind aus den Grundlagen der Geometrie, der Algebra und der Topologie gewählt und setzen damit eine gewisse mathematische Allgemeinbildung voraus. In einem Anhang werden die wichtigsten logischen und mengen­ theoretischen Begriffe zusammengestellt. Insbesondere werden Symbole für die einfachsten logischen Verknüpfungen eingeführt. Ich habe mich nicht gescheut, diese Symbole auch ab und zu im Text zu verwenden, da so in vielen Fällen die logische Struktur einer Aussage deutlicher hervortritt, und da man insbesondere oft mit Äquivalenzen ebenso bequem rechnen kann, wie es der Mathematiker schon immer mit Gleichungen zu tun gewöhnt ist. Es kommt hinzu, daß in wichtigen Verbänden die verbandstheoretischen Operationen unmittelbar mit aussagenlogischen Verknüpfungen zusammenhängen.

In der Mathematik ist es immer als eine besonders interessante und wichtige Aufgabe angesehen worden, Algorithmen zur Lösung von Pro­ blemen zu entwickeln. Dabei ist ein Algorithmus im Normalfall nur auf einen eng umschriebenen Problemkreis anwendbar, wie etwa der Euklidi­ sche Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen oder das bekannte Verfahren, mit dessen Hilfe die Qua­ dratwurzeln aus natürlichen Zahlen in Dezimaldarstellung gewonnen werden können. So wichtig derartige spezielle Algorithmen auch sein mögen - so wäre es dennoch wünschenswert, über Algorithmen mit großer Tragweite zu verfügen. Um solche Algorithmen, die sich mög­ lichst vielfältig anwenden lassen, hat man sich jahrhundertelang ohne rechten Erfolg bemüht. Erst in der zweiten Hälfte des letzten Jahr­ hunderts wurde ein bemerkenswerter Fortschritt erzielt, als es gelang, mit der Prädikatenlogik einen wichtigen Teil der logischen Schluß­ prozesse in die Gestalt eines Kalküls zu bringen. (Dabei spielte die Boolesche Algebra eine wesentliche Pionierrolle. ) Man hätte nun viel­ leicht vermuten können, daß alle mathematischen Probleme algorith­ misch lösbar seien. Doch mahnten wohlbekannte noch ungelöste Pro­ bleme (etwa das Wortproblem der Gruppentheorie, oder das zehnte Hilbertsche Problem, das die Frage nach der Lösbarkeit von diophanti­ schen Gleichungen betrifft) zur Vorsicht. Immerhin war nun der Anstoß gegeben, die Frage nach dem Wesen des Algorithmus aufzuwerfen. Diese Frage hatte schon Leibniz gestellt, aber nicht zu lösen vermocht.

The task of developing algorithms to solve problems has always been considered by mathematicians to be an especially interesting and im­ portant one. Normally an algorithm is applicable only to a narrowly limited group of problems. Such is for instance the Euclidean algorithm, which determines the greatest common divisor of two numbers, or the well-known procedure which is used to obtain the square root of a natural number in decimal notation. The more important these special algorithms are, all the more desirable it seems to have algorithms of a greater range of applicability at one''s disposal. Throughout the centuries, attempts to provide algorithms applicable as widely as possible were rather unsuc­ cessful. It was only in the second half of the last century that the first appreciable advance took place. Namely, an important group of the inferences of the logic of predicates was given in the form of a calculus. (Here the Boolean algebra played an essential pioneer role. ) One could now perhaps have conjectured that all mathematical problems are solvable by algorithms. However, well-known, yet unsolved problems (problems like the word problem of group theory or Hilbert''s tenth problem, which considers the question of solvability of Diophantine equations) were warnings to be careful. Nevertheless, the impulse had been given to search for the essence of algorithms. Leibniz already had inquired into this problem, but without success.

Wir hören in dieser "Arbeitsgemeinschaft für Forschung" oft Vorträge über ganz spezielle Themen, die nur von den Fachleuten völlig verstanden werden können, während die anderen Zuhörer kein eigenes Urteil über die Materie haben. Bei der Logik ist dies anders, denn eigentlich müßte jeder Fachmann sein: Jeder, der überhaupt mit irgendeiner Theorie arbeitet, bedient sich dabei der Logik. Jeder Wissenschaftler sollte daher etwas von der Logik verstehen. Um Mißverständnissen vorzubeugen, soll genauer gesagt werden, was hier mit "Logik" und" Theorie" gemeint sein soll. Das. Wort "Logik" wird heute oft in einem sehr weiten Sinn verwendet. Hier soll ausschließlich von formaler Logik die Rede sein. Wenn im folgenden von "Theorien" gespro­ chen wird, so sind darunter fertige Theorien zu verstehen. Diese haben eine gewisse Struktur, sie sind in einer besonderen Weise aufgebaut. Für diesen Aufbau wollen wir uns interessieren. Ein interessantes, aber viel schwierigeres Problem ist es, zu ermitteln, wie man zu neuen Theorien kommt. Auch bei diesem Prozeß spielt die Logik eine wesentliche Rolle. Dies ist aber nicht Gegenstand dieses Vortrags. Schließlich soll betont werden, daß hier nicht die Grundlagen der Logik schlechthin diskutiert werden sollen. Es sollen nur die Aspekte heraus­ gehoben werden, welche es mit der dienenden Rolle der Logik beim Aufbau naturwissenschaftlicher Theorien zu tun haben.