Teubner-Texte zur Mathematik – serie

Dieses Lehrbuch zu dem Gebiet der angewandten reellen Analysis stellt ma­ thematische Methoden vor, die für das heutige Verständnis der Theorie nicht­ linearer hyperbolischer Erhaltungsgleichungen von Bedeutung sind, aber auch in anderen Gebieten Anwendung finden. Es umfaßt sowohl klassische Themen der Analysis als auch insbesondere Methoden aus den letzten zwanzig Jahren, die noch nicht in der Lehrbuchliteratur eingehend behandelt werden. Das Buch ist an Studierende gerichtet, die am Anfang des Hauptstudiums stehen und denen die Grundlagen der Analysis, gewöhnliche Differentialglei­ chungen sowie die Funktionalanalysis bekannt sind. Es ist versucht worden, möglichst viel im Text oder den Anhängen darzustellen und zu entwickeln. Vorlesungen zur Maßtheorie und über Partielle Differentialgleichungen werden nicht vorausgesetzt. In einigen Fällen mußte allerdings für den Beweis von Aussagen auf einschlägige Literatur verwiesen werden, um den Umfang des Buches in vertretbarem Rahmen zu halten. Eine umfassende Abhandlung des Themas ist nicht möglich, da die Theorie 'der nichtlinearen hyperbolischen Erhaltungsgleichungen ein Gebiet der parti­ ellen Differentialgleichungen ist, in dem selbst fundamentale Konzepte noch nicht ausgereift sind. Es gibt nur Teilgebiete, in denen eine abgerundete Dar­ stellung von Resultaten möglich ist.

Im Mittelpunkt des Buches steht die Behandlung von Funktionalgleichungen analytischer Funktionen, die für die Anwendungen in der Zahlentheorie von Interesse sind. Ausgehend vom Gedankenkreis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes werden die analytischen Grundlagen durch die Jacobischen Thetafunktionen und die Dedekindsche Etafunktion gelegt und ihre Beziehungen zu den Gaußschen und Dedekindschen Summen erörtert. Anschließend werden Verallgemeinerungen dieser Funktionen bezüglich höherer arithmetischer Probleme besprochen. Schließlich werden analytische Funktionen über konvexen Körpern betrachtet und Abschätzungen von Gitterpunktanzahlen in konvexen Körpern vorgenommen.

The book provides a new functional-analytic approach to evolution equations by considering the abstract Cauchy problem in a scale of Banach spaces. The usual functional analytic methods for studying evolution equations are formu­ lated within the setting of unbounded, closed operators in one Banach space. This setting is not adapted very well to the study of many pseudo differential and differential equations because these operators are naturally not given as closed, unbounded operators in one Banach space but as continuous opera­ tors in a scale of function spaces. Thus, applications within the setting of unbounded, closed operators require a considerable amount of additional work because one has to construct suitable closed realizations of these operators. This choice of closed realizations is technically complicated even for simple applications. The main feature of the new functional analytic approach of the book is to study the operators in scales of Banach spaces that are constructed by simple reference operators. This is a natural setting for many operators acting in scales of function spaces. The operators are only expected to respect the scale and to satisfy certain inequalities but we can avoid completely the choice of any closed realization of these operators which is of great importance in applications. We use the mapping properties of the reference operators to prove sufficient conditions for well-posedness of linear and quasilinear Cauchy problems. In the linear, time-dependent case these conditions are shown to characterize well-posedness. A similar result in the standard setting (i. e.

The book is concerned with upper bounds for the Hausdorff and Fractal dimensions of flow invariant compact sets in Euclidean space and on Riemannian manifolds and the application of such bounds to global stability investigations of equilibrium points. The dimension estimates are formulated in terms of the eigenvalues of the symmetric part of the linearized vector field by including Lyapunov functions into the contraction conditions for outer Hausdorff measures. Various types of local, global and uniform Lyapunov exponents are introduced. On the base of such exponents the Lyapunov dimension of a set is defined and the Kaplan-Yorke formula is discussed. Upper estimates for the topological entropy are derived using Lyapunov functions and adapted Lozinskii norms.