Leitfäden der angewandten Mathematik und Mechanik - Teubner Studienbücher – serie

Die turbulente Flüssigkeitsbewegung stellt schlechthin das ungelöste Problem der Strömungslehre dar. Dabei handelt es sich hier um eine äußerst verbreitete Erschei­ nung, die die gesamte praktische Strömungsmechanik geradezu beherrscht. In be­ merkenswertem Kontrast hierzu steht die Feststellung, daß viele der Physiker und Ingenieure, die als hervorragende und keineswegs einseitige Experten der Strömungs­ lehre gelten, relativ wenig mit der Materie der turbulenten Strömungen vertraut sind. Ferner ist festzustellen, daß eine unübersehbare Fülle von Einzelveröffentlichungen existiert und daß laufend weitere Forschungsarbeiten zur Turbulenz erscheinen, daß es aber nur wenige Buchveröffentlichungen gibt, die als Lehrbuch geeignet sind. Im Vergleich zu den auf anderen Teilgebieten der Strömungslehre vorhandenen Büchern ist der Prozentsatz an Büchern über Turbulenz verschwindend gering. Ein deutsch­ sprachiges Buch, das die in den vergangenen drei Jahrzehnten erzielten Fortschritte der Turbulenz-Forschung angemessen behandelt, ist nicht verfügbar. Diese Sachlage mag den Versuch rechtfertigen, die bestehende Lücke zu schließen. Der Band soll eine Einführung in die Theorie vermitteln mit dem Ziel, die wesent­ lichen Tatsachen der turbulenten Strömungen dem Verständnis des Lesers nahezu­ bringen und ihn mit den Anwendungsmäglichkeiten der theoretischen Methoden vertraut zu machen. Der vorgegebene Umfang erforderte eine strenge Eingrenzung des Stoffes. Es werden nur sogenannte "ausgebildete turbulente" Strömungen behandelt. Auf die Stabilität der laminaren Strömungen und die Entstehung der Turbulenz wird nicht eingegangen.

Dieses Buch (es ist aus Vorlesungen und Vorträgen entstanden, die die Verfasser an der ETH, Zürich, an der Universität Texas in Austin und anderswo gehalten haben) möchte eine Einführung in die Mittelwertmethode bei gewöhnlichen Differentialgleichungssystemen geben, die auch neueren Ent­ wicklungen Rechnung trägt. Diese Methode hat sich in Theorie und Anwen­ dung als so fruchtbar erwiesen, daß es gerechtfertigt erscheint, ihr auch ein Buch in der LAMM-Reihe zu widmen. Es gliedert sich wie folgt: Formale Untersuchungen (erstes und drittes Kapitel), Anwendungen (zweites Kapitel), mathematische Begründung der Methode (viertes Kapitel). Das Buch besitzt folgende Merkmale, auf die hingewiesen sei: (i) Wir ent­ wickeln die Mittelwertmethode konsequent auf der Grundlage der Lieschen Reihen und befassen uns ausführlich mit den Implikationen dieses Grundkon­ zepts. (ii) Wir versuchen, anwendungsnahe Beispiele vorzuführen, insbe­ sondere werden auch höherdimensionale Probleme behandelt. Wann immer möglich leiten wir die zu Grunde liegenden Differentialgleichungen her oder interpretieren sie zumindest. (iii) Obwohl wir uns mit diesem Buch an anwendungsorientierte Mathematiker, Ingenieure und Naturwissenschaftler richten, haben wir es für richtig gehalten, im theoretischen Teil des Buches auch tieftiegende Resultate herzuleiten. Wir haben uns jedoch um einfache und durchsichtige Beweise bemüht, die wir ausführlich darlegen. Auch in den theoretischen Teilen wird immer wieder die Brücke zu den Anwendungen geschlagen. An Vorkenntnissen setzt das Buch die üblichen Vorlesungen über Analysis und Lineare Algebra voraus, wie sie in den ersten vier Semestern an Hochschulen geboten werden.

Die Schalentheorie hat bereits eine hundertjährige Entwicklung hinter sich. Die Zeit (1888), als die grundlegende Arbeit der Schalentheorie [91] vom Autor als" ... eigentlich ein Versuch, die Vibration der Kirchenglocken zu untersuchen" verstanden wurde, ist längst vorbei. Die Theorie wurde zur Grundlage für die Analyse und Berechnung unzähli­ ger Konstruktionen im Maschinen-, Flugzeug- und Schiffbau sowie bei Flächentragwerken des Bauingenieurwesens. Dieser praktische Wert der Schalentheorie sicherte ihr einen Eh­ renplatz als wichtigen anwendungsbezogenen Teil der Theorie elastischer Körper. Das Interesse an der Schalentheorie läßt nicht nach. Die letzten drei Jahrzehnte brachten einen neuen maßgebenden Umstand - die Computertechnik. Beim Lösen der meisten praktischen Probleme von Flächentragwerken ist der Computer unentbehrlich geworden. Universale Programme, die meist auf die Verfahren der finiten Elemente oder der finiten Differenzen aufgebaut sind, stehen zur Verfügung. Neben der schon kaum übersehbaren Zeitschriftenliteratur gibt es zahlreiche Lehrbücher und Monographien über die Schalentheorie. Das Spektrum der Bücher ist breit gefächert. Es ist reich an Aufbauprinzipien, Auswahl der erfaßten Probleme und besonders im Um­ fang sowie in der Darstellungsweise der Grundlagen der Theorie. Aber es besteht auch eine Lücke im "Parameterraum" der Bücher. Es wird fast ausschließlich die lineare Theorie behandelt. Werden auch endliche Verformungen erfaßt, so bleiben sie auf eine "mittlere Größenklasse" beschränkt. (Einen Sonderfall bildet das Buch [99].) In den meisten Büchern wird nur der Membranspannungszustand ausführlich untersucht. Das volle Bild - einschließlich der Biegespannungen - wird öfters als zweitrangig angesehen und analy­siert.

Operations Research befaßt sich mit der mathematischen Analyse technisch-wirtschaft­ licher Probleme und Systeme. Man hat es dabei immer mit mehr oder weniger ausge­ prägten Unsicherheiten und Ungewißheiten zu tun. Oft kann man die Unsicherheiten vernachlässigen und mit Schätzungen, mittleren oder erwarteten Werten arbeiten. Es gibt jedoch Probleme, deren Wesen gerade durch den Zufall bestimmt ist. Man würde den Kern des Problems nicht treffen, wollte man versuchen, den Zufallsfaktor zu eli­ minieren. In solchen Fällen muß das Problem mit wahrscheinlichkeitstheoretischen oder stochastischen Methoden angepackt werden. Man hat es dabei fast immer mit dynamischen, zeitlichen Abläufen zu tun. Die Pro­ bleme fallen daher in das Gebiet der stochastischen Prozesse. Die grundlegenden Instru­ mente zur Behandlung der stochastischen Probleme des Operations Research bilden die Erneuerungstheorie und die Theorie der Markoff-Ketten (Kapitel 2 und 3). Wichtige Anwendungen davon treten bei den Warteschlangensystemen (Kapitel4) und der dyna­ mischen Optimierung (Kapitel 5) auf. Von vorrangiger, praktischer Bedeutung ist die numerische Behandlung der stochastischen Probleme des Operations Research. Hierflir legen die Simulations-und Monte-Cario-Methoden (Kapitel 6) weitreichende Ansätze bereit. Es wird hier keinesfalls eine umfassende, vollständige Darstellung der einzelnen Gebiete angestrebt. Im Vordergrund steht vielmehr eine Einführung in die wichtigsten, ftir die jeweiligen Problemkreise charakteristischen Gedankengänge. Selbstverständlich beruhen die dargestellten stochastischen Methoden auf der allgemeinen Wahrscheinlichkeits­ theorie. Daher ist im Kapitell eine knapp gehaltene Einführung in die Wahrscheinlich­ keitstheorie vorangestellt, die derenwesentlichsten Ergebnisse enthält, wobei zum größten Teil auf die Beweise verzichtet wurde. Der Leser, der mit der Wahrscheinlich­ keitstheorie vertraut ist, kann dieses Kapitel überspringen.

Die zunehmende Bedeutung der Leistungsbewertung von Rechensystemen auf der Basis von Warteschlangenmodellen und die Vielzahl der hier­ zu existierenden, zum Teil komplexen analytischen Methoden haben uns veranlaßt, dieses Buch zu schreiben. Es ist aus einer Vorlesung entstanden, die der eine der bei den Autoren seit 1976 an der Uni­ versität Erlangen-Nürnberg bzw. an der katholischen Universität von Rio de Janeiro gehalten hat und aus einem internen Arbeitsbe­ richt der bei den Autoren aus dem Jahre 1981. Das Ziel des Buches besteht darin, eine systematische Einführung in diese analytischen Methoden zu geben und dem Leser dazu einen leichten Einstieg zu ermöglichen. Um dies zu erreichen, wurden alle Methoden an bewußt einfach gehaltenen Beispielen ausführlich erläutert. Wo Beweise und Herleitungen notwendig schienen, sind diese deutlich gekennzeichnet. Dadurch ist es möglich, sich zu­ nächst nur mit der reinen Anwendung der Methoden zu befassen und davon ausgehend später die Kenntnisse zu vertiefen, wofür auch das umfangreiche aktuelle Literaturverzeichnis dienen kann. Ebenso haben wir bei der exakten Analyse in Abschnitt 4.1 vorbereitend auf Abschnitt 4.2 einige einfache Verfahren eingeführt, obwohl diese als Spezialfall in der in Abschnitt 4.2 beschriebenen Metho­ de enthalten sind. Das Buch wendet sich besonders an Informatikstudenten höherer Se­ mester, aber auch an Fachleute aus der Industrie, die sich mit dem Entwurf und der Bewertung von Rechensystemen befassen. Es werden Grundkenntnisse in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Informatik vorausgesetzt.

Von Mechanik soll die Rede sein - oder zumindest einem Teilgebiet davon. Und zwar von der Mechanik, die durch GALILE! 1638 und NEWTON 1687 zum Durch­ bruch als exakte Natur-Wi33en-schaJt, von EULER 1750/75 zur Blüte und von LAGRANGE 1788 und HAMILTON 1835 zur Vollendung geführt wurde - um mit einigen Namen einen Rahmen zu stecken. Daß hierbei die Mechanik eine der ersten Naturwissenschaften war, ihr zumindest "eine Schrittmacherrolle zugefallen ist"l, macht das Thema reizvoll, ist aber natürlich kein ausreichender Grund, zu den vorhandenen Abhandlungen eine weitere hinzuzufügen. Vielmehr liegt eine gewlsse Berechtigung in dem Versuch, das vorhandene Material zu ordnen und aus einem Blickwinkel heraus zu betrachten, der den momentanen Anforderungen an die Mechanik gerecht wird. Wo steht die Mechanik heutef "Die Mechanik der Rezepte - in früheren Jahrhun­ derten durchaus effektiv - hat ausgedient. Die weitgehenden Idealisierungen, in der als klassisch bezeichneten Periode noch als angemessen und zulässig akzeptiert, müssen jetzt mehr und mehr abgebaut und durch realistischere Annahmen ersetzt werden" 1. Dies kennzeichnet einen Wandel von einer "Ideal-Mechanik zu einer Real-Mechanik" 1. Als Realmechnik kann die Mechanik, die früher Vorbildcharak­ ter für andere Wissenschaften hatte, "wieder beispielgebend sein oder werden. Wir sollten uns also nicht von dem gelegentlichen Geschwätz über die angeblich abge­ schlossene und damit nicht mehr entwicklungsfähige Mechanik verwirren lassen.

Die Integralgleichungen stellen ein Gebiet dar. das für sich durchaus selbständig ist und auf einer interessanten Mischung von Analysis. Funktionentheorie und Funktionalanalysis beruht. Auf der anderen Seite gewinnen die Integralgleichungen ihr praktisches Interesse aus der «Integralgleichungsmethode». die es erlaubt, partielle Differential­ gleichungen in Integralgleichungen umzuformen. Das Buch ist aus Vorlesungen hervorgegangen, die der Autor an der Ruhr-Universität Bochum und der Christian-Albrechts-Universität Kiel gehalten hat. Der Umfang der Kapitel 1 bis 6 entspricht etwa einer intensiven vierstündigen Vorlesung. Das Studium der Integral­ gleichungen kann mit Vorkenntnissen der Analysis und den Grundlagen der Numerik aufgenommen werden. Kenntnisse aus der Funktional­ analysis sind hilfreich. aber nicht unabdingbar, wenn Grundbegriffe wie Banach-und Hilbert-Räume geläufig sind. Der Theorieteil dieses Buches ist so knapp wie möglich bemessen. da die Numerik in den Kapiteln 2. 4, 5 im Vordergrund stehen soll. Wichtige Teile der benötigten Funktionalanalysis wie etwa die Riesz-Schauder-Theorie werden ohne Herleitung wiedergegeben. Es wird dabei davon ausgegangen. daß dem Leser dieses Gebiet entweder aus einer Vorlesung über «Funktionalanalysis» bekannt ist oder daß e- mit gesteigerter Motivation durch praktische Beispiele - diese Kapitel durch Vorlesungen oder Lektüre nachholen wird. Es sei daran erinnert. daß auch historisch die Funktionalanalysis aus der Diskussion der Integralgleichungen hervorgegangen ist. Als Funktionenräume werden in dieser Darstellung vornehmlich die klassischen der stetigen oder Hölder-stetigen Funktionen verwendet. Die Sobolev-Räume werden weitgehend vermieden. was zum Beispiel zur Folge hat. daß dieIntegraloperatoren hier nicht in der erforderlichen Allgemeinheit als Pseudodifferentialoperatoren diskutiert werden können.

4 Die aus der Linearen Algebra benötigten Grundlagen sind noch einmal in Kapitel 2 dieses Buches zusammengestellt. Damit soll zum einen eine geschlossene Darstellung ermöglicht werden, zum anderen ist es notwendig, die aus der Linearen Algebra bekannten Sätze in die hier benötigte Formulierung zu bringen. Vom Umfang her eignet sich eine Auswahl des vorliegenden Stoffes fUr eine 4-stündige Vorlesung nach dem Vordiplom. Eine Teilauswahl ist auch für die Vorlesung «Numerische MathematikII» empfehlenswert. Die aufgeführten Übungsaufgaben, die auch als Bemerkungen ohne Beweis verstanden werden können, sind in die Darstellung integriert. Wird dieses Buch als Grundlage einer Vorlesung benutzt, können sie als Übungen dienen. Aber auch der Leser sollte versuchen, sein Verständnis der Lektüre an den Aufgaben zu testen. Die Diskussion der Verfahren ist durch zahlreiche numerische Bei­ spiele zumeist anhand des Poisson-Modellproblems illustriert. Damit der interessierte Leser die Verfahren mit anderen Parametern, Schritt­ weiten etc. testen kann, sind die Verfahren auch explizit als Pascal­ Programme angegeben. Die Sammlung der Quelltexte ist als Diskette erhältlich (siehe [Prog1 im Literaturverzeichnis und Bestellformular auf den Seiten 38112). Diese Programmsammlung könnte auch unabhängig vom Buch zur Unterstützung von Vorlesungen oder Seminaren mit numerischen Beispielen herangezogen werden. Der Autor dankt seinen Mitarbeitern, insbesondere Herrn J. Bur­ meister für Literaturrecherchen und die Unterstützung beim Lesen und Korrigieren des Manuskriptes. Diskussionen mit den Kollegen Niethammer, Maeß, Dry ja, Wittum, u.a. verdanke ich viele Anregungen und Literaturhinweise. Dem Teubner-Verlag gilt der Dank für die stets freundliche Zusammenarbeit.

Das Gebiet der Datenbanksysteme durchläuft in den letzten Jahren eine geradezu stürmische Phase der Entwicklung, so daß es sicher­ lich nicht unproblematisch ist, zum gegenwärtigen Zeitpunkt ein Buch über Datenbanksysteme zu schreiben. Andererseits hat das Ge­ biet inzwischen einen solchen Umfang angenommen - und zugleich ha­ ben sich einige Konzepte ausreichend durchgesetzt -, daß für den­ jenigen, der sich mit dem Gebiet etwas ausführlicher befassen will, dringend eine systematische, auf das Wesentliche beschränkte Ein­ führung benötigt wird. Dieser Versuch wird mit dem vorliegenden Buch unternommen. Wir sind uns darüber im klaren, daß die Stoffauswahl und Tiefe der Behandlung der einzelnen Fragen beim Umfang eines solchen Buches etwas willkürlichen Charakter haben muß. Ziel war es, die wesent­ lichen, weithin anerkannten Konzepte herauszuarbeiten, dabei aber zugleich einen überblick über den Kernbereich des Gesamtgebietes zu geben; einige der jüngsten, noch unsicheren Entwicklungen sind nur angedeutet, Randentwicklungen oder sehr in die Zukunft reichen­ de Ideen konnten nicht vorgestellt werden. Entsprechend dem Wissensstand auf dem Gebiet konnten auch in die­ sem Buch nicht alle Fragen in gleicher Tiefe behandelt werden. Während einige Probleme sehr genau untersucht und verstanden und mit formalen Methoden beschreibbar und analysierbar sind, müssen andere Problemkreise mehr verbal und intuitiv diskutiert werden. Wir haben uns jedoch bemüht, soweit als möglich gängige, aber un­ scharfe Konzepte exakt zu definieren. Das Buch ist in sich abgeschlossen und setzt keine besonderen Ma­ thematik- oder Informatikkenntnisse voraus.

Das Buch enthält die Grundlagen und Methoden, die zur theoretischen Modellierung und zur Analyse von Strömungsvorgängen mit nichtnewtonschen Fluiden erforderlich sind. Zunächst werden die kinematischen, die kontinuumsmechanischen und die stofflichen Grundlagen ausführlich erläutert. Die Anwendung des Basiswissens erfolgt exemplarisch anhand ausgewählter Strömungsvorgänge, die maßgeblich von den nichtlinearen Fließeigenschaften, von den Normalspannungsdifferenzen oder vom Gedächtnis der Flüssigkeiten beeinflusst werden. Dabei haben sich die Inhalte, die Schwerpunkte und die Beispiele gegenüber der ersten Auflage wesentlich geändert. Erstmalig in einem deutschsprachigen Lehrbuch werden auch die Grundzüge einer numerischen Strömungssimulation unter Berücksichtigung komplexer rheologischer Stoffmodelle behandelt.

Das vorliegende Buch entstand seinerzeit auf die Anregung meines verehrten Lehrers, Herrn Prof. Dr. E. Stiefel. Es richtet sich an Mathematiker, Physiker, Ingenieure und Naturwissenschaftler, die an einer einfachen, auf die praktische und effiziente Durchführung ausgerichteten einführenden Darstel­ lung der Methode der finiten Elemente interessiert sind. Im elementar gehaltenen, einführenden Lehrbuch werden die Grundprinzi­ pien der Methode der finiten Elemente für ein- und zweidimensionale Probleme eingehend dargelegt. Die Verallgemeinerung der Ideen und Vorge­ hensweisen zur Lösung von dreidimensionalen Aufgaben liegt auf der Hand. Die Behandlung von ein- und zweidimensionalen Problemstellungen bietet den Vorteil anschaulich und durchsichtig zu sein. Es wurde versucht, aus dem weiten Anwendungsbereich der Methode der finiten Elemente typische und repräsentative Problemkreise auszuwählen und die zugehörigen Grundlagen darzustellen. So werden zuerst die für die Physik und verschiedene Zweige der Ingenieur- und Naturwissenschaften wichtigen stationären und instationären Feldprobleme behandelt. Darunter fallen elliptische Randwertaufgaben, instationäre Diffusions-und Wärmeleitungsprobleme sowie Schwingungsauf­ gaben. Aus dem weiten Gebiet der Elastomechanik werden nur Stäbe, Balken, Scheiben und Platten betrachtet, an denen das grundsätzliche Vorgehen im Rahmen der linearen Elastizitätstheorie aufgezeigt wird.