Lineare Algebra für Dummies

Ernst Georg Haffner ist Professor an der Hochschule Trier. Seine Fachgebiete sind Mathematik, Informatik und Informationssicherheit.

• Einführung 21Zu diesem Buch 21Konventionen in diesem Buch 21Was Sie nicht lesenmüssen 22Törichte Annahmen über den Leser 22Wie dieses Buch aufgebaut ist 22Symbole in diesem Buch 25Wie es weitergeht 25Teil I Grundlagen Der Linearen Algebra 27Kapitel 1 Die bunte Welt der linearen Algebra 29Dafür braucht man lineare Algebra 30Systeme von Gleichungen lösen 31Geometrische Rätsel knacken 32Die Bausteine der linearen Algebra erkennen 34Körper und Vektorräume 34Sinnvolle Verknüpfungen von Vektoren 35Die Werte in Reih’ und Glied bringen 36Matrizen und ihre Verknüpfungen 38Determinanten 40Alles in einen linearen Zusammenhang bringen 41Lineare Abbildungen 41Affine Transformationen 44Noch bunter geht es nicht 44Eigenwerte und Eigenvektoren 45Diagonalisieren und der Spektralsatz 47Wie man den linearen Überblick behält 49Kapitel 2 Zahlen gegen reelle Komplexe 53Reelle Zahlen in der Realität 53Grundidee der komplexen Zahlen 56Crashkurs: Rechnenmit komplexen Zahlen 60Addition und Subtraktion komplexer Zahlen 60Multiplikation und Division komplexer Zahlen 63Besonderheiten komplexer Zahlen 65Beträge komplexer Zahlen 65Konjugierte Komplexe 67Kapitel 3 Körper und andere Welten 73Verkündigung der Körpergesetze 73Das Assoziativgesetz 75Das Kommutativgesetz 78Das neutrale Element 81Inverse Elemente 82Das Distributivgesetz 84Die Algebraische Struktur der Körper 85Endlich unendliche Körper 86Der kleinste Körper 86Die Klassischen Zahlkörper 89Na so was: die Restklassenkörper 90Kapitel 4 Wen Amors Vektor trifft 93Woher die Vektoren kommen 93Erweitern Sie Ihren Horizont – um n Dimensionen 94Grundlegende Vektoroperationen 96Addition und Subtraktion von Vektoren 97Skalare Multiplikation von Vektoren 99Das Skalarprodukt von Vektoren 100Die Norm eines Vektors 102Das Vektorprodukt 104Der Winkel zwischen Vektoren 105Diese Vektoren sind nicht normal 108Jetzt wird es eng: der n-Raum 109Der Euklidische n-Raum 110Der komplexe n-Raum 111Warum das alles kein Unsinn ist 112Arbeit und Kraft 113Das Drehmoment 114Tricks mit Vektoren 116Der Kosinussatz 116Teil II Landschaftserkundung Zur Linearen Algebra 119Kapitel 5 Vektorräume mit Aussicht 121Räume voller Vektoren 121Vektorraumoperationen 122Addition von Vektoren 123Skalare Multiplikation 124Vektorraumeigenschaften 125Massenhaft Beispiele für Vektorräume 126Vektorräume aus n-Tupeln 126Vektorräume aus Polynomen 127Vektorräume aus Matrizen 129Vektorräume von Folgen und Funktionen 130Vektorräume aus linearen Abbildungen 132Vektorräume aus Körpern 133Unterräume – aber nicht im Kellergeschoss 133Die formale Spezifikation der Unterräume 134Eine Abkürzung zu den Unterräumen 135Aufräumen in den Unterräumen 136Summen von Unterräumen 140Direkte Summen von Unterräumen 142Kapitel 6 LGS – Auf lineare Steine können Sie bauen 145Wie lineare Gleichungssysteme entstehen 145Darstellungsmöglichkeiten linearer Gleichungssysteme 150Die Quadratische Form 150Die Stufenform 152Die Idealform 153Prinzipielle Lösungsmengen von LGSen 155Eindeutige Lösung 155Freie Parameter in der Lösung 156Keine Lösungen 158Das Gauß’sche Eliminationsverfahren zur Lösung von LGSen 158Der Gauß-Jordan-Algorithmus 163Lösung eines LGS über die erweiterte Koeffizientenmatrix 165So geht es auch: LR-Zerlegung nach Gauß 167Determinanten zur Bestimmung von Lösungen 169Lösung à la Cramer & Cramer 170Inverse Matrizen zur Lösung einer Matrizengleichung 172Parametrisierte LGS 173Kapitel 7 Die Matrix ist überall 181Wie eine Matrix das Leben erleichtert 181Lineare Gleichungssysteme als Matrizen darstellen 183Grundlegende Matrixoperationen 184Addition von Matrizen 184Skalare Multiplikation von Matrizen 185Matrix-Vektorprodukt 187Matrizenmultiplikation 188Transposition von Matrizen 191Der Rang einer Matrix 193Attribute von Matrizen 194Quadratische Matrizen 194Reguläre Matrizen 196Idempotente Matrizen 197Diagonalmatrizen 198Adjungierte von Matrizen bestimmen 199Komplementäre Matrizen erzeugen 200Matrizen invertieren 202Mittels Determinanten und Adjunkten 203Mittels Gauß-Jordan-Algorithmus 203Komplexe Matratzen, pardon, Matrizen 205Unitäre Matrizen 205Hermitesche Matrizen 207Schiefhermitesche Matrizen 208Ähnliche Matrizen 208Der Matrix auf der Spur 210Kapitel 8 Die lineare Unabhängigkeitserklärung 213Wir kombinieren linear 213Warum unabhängig besser ist als abhängig 215Bestimmung der linearen Unabhängigkeit 216Bei n-Tupel-Vektoren 217Bei Polynomen 220Bei Matrizen 222Bei linearen Abbildungen 225Im Allgemeinen 228Fallstricke der linearen Unabhängigkeit 232Lineare Unabhängigkeit mit der Lösung von Gleichungssystemen 233Kapitel 9 Basen, keine lästige Verwandtschaft 235Auf dieser Basis beruht unsere Arbeit 235Erzeugende Systeme 241Lineare Hüllen als Unterräume 242Lineare Unabhängigkeit von Basisvektoren 243Erzeugte Unterräume 244Matrizen und Basen: So geht das! 248Dimensionen und Basisvektoren 249Der Dimensionssatz 250Jetzt haben Sie endlich die Koordinaten 251Basen für Orthonormal-Verbraucher 252Teil III Analytische Geometrie Fürs Leben 257Kapitel 10 Geometrische Grundelemente 259Affinität zu geometrischen Räumen 259Punkte im Euklidischen n-Raum 263Darstellungsmöglichkeiten von Geraden 264Parameterform 264Gleichungsform 266Darstellungsmöglichkeiten von Ebenen 266Parameterform 266Normalenvektor und Normalenform 267Koordinatenform 268Achsenabschnittsform 270Aus der Form gesprungen oder wie Sie von einer Form in die andere gelangen 271Festhalten, jetzt kommen höherdimensionale Objekte 272Parameterformen 272Koordinatenformen und Gleichungssysteme 273Was sonst noch interessant ist 275Dreiecke 275Parallelogramme 276Spate 277Flächen zweiter Ordnung 279Elliptisches Paraboloid 280Hyperbolisches Paraboloid 281Kapitel 11 Abstand halten und schneiden 283Wir bestimmen den Abstand von… 283Punkt zu Punkt 284Punkt zu Gerade 286Punkt zu Ebene 288Wenn sich zwei Geraden treffen 290Abstand paralleler Geraden 290Abstand windschiefer Geraden 292Schnittpunkt und -winkel zweier Geraden 295Ebenen kommen ins Spiel 299Abstand einer Geraden von einer parallelen Ebene 299Durchstoßpunkt und -winkel von Gerade zu Ebene 300Abstand zweier paralleler Ebenen 303Schnittgerade und -winkel zwischen Ebenen 304Überdimensionale Objekte 308Abstandsbestimmung allgemein 308Schnittobjekte und -winkel ermitteln 309Kapitel 12 Geometrische Transformationen 311Geometrie jenseits Lineal und Zirkel 311Affine Abbildungen 312Identität 317Translation 317Transvektion (Scherung) 318Rotation 321Spiegelung 328Kontraktion 334Die Hauptachsentransformation 336Hauptachsentransformation – 3D 340Teil IV Lineare Algebra For Runaway Dummies 347Kapitel 13 Raubtierfütterung der Morphismen 349Was Homomorphismen eigentlich sind 349Beispiel 1: Quadratische Funktionen 350Beispiel 2: Trigonometrische Funktionen 351Beispiel 3: Exponential- oder Logarithmusfunktionen 352Beispiel 4: Endlich linear 354Wurfarten, die Sie sichmerken sollten 355Kern einer linearen Abbildung 355Bild einer linearen Abbildung 355Surjektivität 356Injektivität 357Bijektivität 358Operationen auf Homomorphismen 359Morphismen, Aufzucht und Pflege 362Homomorphismen 362Epimorphismen 362Monomorphismen 362Isomorphismen 363Endomorphismen 364Automorphismen 365Projektionen 366Orthogonale Projektionen 369Ansteckungsgefahr bei Morphismen, Diagnose: Singularität 371Lineare Operatoren in der Technik 373Kapitel 14 Ganz bestimmte Determinanten 377Warum Determinanten wichtig sind 377Was Permutationen mit Determinanten zu tun haben 379Berechnung von Determinanten 381Determinanten von 2x2-Matrizen 381Determinanten mit der Regel von Sarrus berechnen 382Berechnung von Determinanten im Allgemeinen 385Rechenregeln für Determinanten 386Wie sich die Transpositionen auf Determinanten auswirken 386Diagonalmatrizen sind die besten Freunde von Determinanten 387Die Determinate der Einheitsmatrix 387Skalare Multiplikation und Determinanten 388Determinanten und der Zeilentausch/Spaltentausch 388Leibniz trifft auf Gauß 389Determinantenberechnung für Dreiecksmatrizen 390Zusammenhang zwischen Determinante und Invertierbarkeit einer Matrix 391Unterdeterminanten 391Der Entwicklungssatz 394Determinanten von Homomorphismen 396Determinanten und das Spatprodukt 397Kapitel 15 Es reicht, wir wechseln die Basis 399Ausgangssituation 399Wo die neuen Basisvektoren herkommen 403Die Übergangsmatrix bestimmen 404Die Übergangsmatrix als linearer Operator 410Basiswechsel bei allgemeinen Homomorphismen 413Ein instruktives Beispiel zum Basiswechsel 416Dem Ingeniör ist nichts zu schwör 416Kapitel 16 Artige Eigenwerte 419Eigenartige Werte 419Eigenwerte von Endomorphismen 421Von Eigenwerten über Eigenvektoren zu Eigenräumen 422Eigenwerte der Matrixdarstellungen 423Wie man aus Eigenwerten die zugehörigen Eigenvektoren presst 426Eigenartige Eigenräume 427Das Jacobi-Verfahren zur Bestimmung von Eigenwerten 429Praxisbeispiele 434Mechanische Schwingungen 434Elektromagnetische Schwingkreise 435Kapitel 17 Diagonalisieren statt um die Ecke denken 439Was Matrizen und Homomorphismen gemeinsam haben 439Was die Diagonalmatrix eines Homomorphismus bedeutet 442Wann Sie überhaupt diagonalisieren können 444Diagonalisieren ohne Verrenkungen 447Eine Null als Eigenwert 449Eigene Werte ohne Potenz 451Was man Schlaues mit der Diagonalisierung anstellen kann 452Potenzieren nach Basiswechsel 453Betrachten Sie den Gipfel 455Der Spektralsatz für Endomorphismen 460Anwendung des Spektralsatzes für den reellen Zahlenkörper 465Anwendung des Spektralsatzes für den komplexen Zahlenkörper 468Die charakteristische Gleichung an unerwarteter Stelle 470Der Satz von Cayley-Hamilton 471Anwendungen des Satzes von Cayley-Hamilton 472Was Sie tun, wenn Sie oben angekommen sind 475Teil V Der Top-Ten-Teil 477Kapitel 18 Lineare Algebra in fast 10 Minuten 479Linearität verstehen und keine Angst vor Algebra haben 479Grundaspekte der analytischen Geometrie verinnerlichen 480Gleichungssysteme mit geometrischen Objekten identifizieren 480LGSe mit unterschiedlichen Methoden lösen 480Zusammenhang von Matrizen und linearen Abbildungen begreifen 481Determinanten und Eigenwerte als Herz einer Matrix betrachten 481Basiswechsel als Spezialfall eines Isomorphismus erkennen 481Diagonalisieren zur Ermittlung von Eigenwerten 482Den Spektralsatz als Gipfel der Erkenntnis ansehen 482Stichwortverzeichnis 485