Vita Mathematica – serie

About Felix Klein, the famous Greek mathematician Constantin Carathéodory once said: “It is only by illuminating him from all angles that one can come to understand his significance.” The author of this biography has done just this. A detailed study of original sources has made it possible to uncover new connections; to create a more precise representation of this important mathematician, scientific organizer, and educational reformer; and to identify misconceptions.Because of his edition of Julius Plücker’s work on line geometry and due to his own contributions to non-Euclidean geometry, Klein was already well known abroad before he received his first full professorship at the age of 23. By exchanging ideas with his most important cooperation partner, the Norwegian Sophus Lie, Klein formulated his Erlangen Program. Various other visionary programs followed, in which Klein involved mathematicians from Germany and abroad. Klein was the most active promoter of Riemann’s geometric-physical approach to function theory, but he also integrated the analytical approaches of the Weierstrass school into his arsenal of methods.Klein was a citizen of the world who repeatedly travelled to France, Great Britain, Italy, the United States, and elsewhere. Despite what has often been claimed, it must be emphasized that Klein expressly opposed national chauvinism. He promoted mathematically gifted individuals regardless of their nationality, religion, or gender. Many of his works have been translated into English, French, Italian, Russian, and other languages; more than 300 supporters from around the world made it possible for his portrait to be painted by the prominent impressionist Max Liebermann.Inspired by international developments, Klein paved the way for women to work in the field of mathematics. He was instrumental in reforming mathematical education, and he endorsed an understanding of mathematics that affirmed its cultural importance as well as itsfundamental significance to scientific and technological progress.

About Felix Klein, the famous Greek mathematician Constantin Carathéodory once said: “It is only by illuminating him from all angles that one can come to understand his significance.” The author of this biography has done just this. A detailed study of original sources has made it possible to uncover new connections; to create a more precise representation of this important mathematician, scientific organizer, and educational reformer; and to identify misconceptions.Because of his edition of Julius Plücker’s work on line geometry and due to his own contributions to non-Euclidean geometry, Klein was already well known abroad before he received his first full professorship at the age of 23. By exchanging ideas with his most important cooperation partner, the Norwegian Sophus Lie, Klein formulated his Erlangen Program. Various other visionary programs followed, in which Klein involved mathematicians from Germany and abroad. Klein was the most active promoter of Riemann’s geometric-physical approach to function theory, but he also integrated the analytical approaches of the Weierstrass school into his arsenal of methods.Klein was a citizen of the world who repeatedly travelled to France, Great Britain, Italy, the United States, and elsewhere. Despite what has often been claimed, it must be emphasized that Klein expressly opposed national chauvinism. He promoted mathematically gifted individuals regardless of their nationality, religion, or gender. Many of his works have been translated into English, French, Italian, Russian, and other languages; more than 300 supporters from around the world made it possible for his portrait to be painted by the prominent impressionist Max Liebermann.Inspired by international developments, Klein paved the way for women to work in the field of mathematics. He was instrumental in reforming mathematical education, and he endorsed an understanding of mathematics that affirmed its cultural importance as well as itsfundamental significance to scientific and technological progress.

Felix Hausdorff is a singular phenomenon in the history of science. As a mathematician, he played a major role in shaping the development of modern mathematics in the 20th century. He founded general topology as an independent mathematical discipline, while enriching set theory with a number of fundamental concepts and results. His general approach to measure and dimension led to profound developments in numerous mathematical disciplines, and today Hausdorff dimension plays a central role in fractal theory with its many fascinating applications by means of computer graphics. Hausdorff ’s remarkable mathematical versatility is reflected in his published work: today, no fewer than thirteen concepts, theorems and procedures carry his name. Yet he was not only a creative mathematician – Hausdorff was also an original philosophical thinker, a poet, essayist and man of letters. Under the pseudonym Paul Mongré, he published a volume of aphorisms, an epistemological study, abook of poetry, an oft-performed play, and a number of notable essays in leading literary journals. As a Jew, Felix Hausdorff was increasingly persecuted and humiliated under the National Socialist dictatorship. When deportation to a concentration camp was imminent, he, along with his wife and sister-in law, decided to take their own lives.This book will be of interest to historians and mathematicians already fascinated by the rich life of Felix Hausdorff, as well as to those readers who wish to immerse themselves in the intricate web of intellectual and political transformations during this pivotal period in European history.

Felix Hausdorff is a singular phenomenon in the history of science. As a mathematician, he played a major role in shaping the development of modern mathematics in the 20th century. He founded general topology as an independent mathematical discipline, while enriching set theory with a number of fundamental concepts and results. His general approach to measure and dimension led to profound developments in numerous mathematical disciplines, and today Hausdorff dimension plays a central role in fractal theory with its many fascinating applications by means of computer graphics. Hausdorff ’s remarkable mathematical versatility is reflected in his published work: today, no fewer than thirteen concepts, theorems and procedures carry his name. Yet he was not only a creative mathematician – Hausdorff was also an original philosophical thinker, a poet, essayist and man of letters. Under the pseudonym Paul Mongré, he published a volume of aphorisms, an epistemological study, abook of poetry, an oft-performed play, and a number of notable essays in leading literary journals. As a Jew, Felix Hausdorff was increasingly persecuted and humiliated under the National Socialist dictatorship. When deportation to a concentration camp was imminent, he, along with his wife and sister-in law, decided to take their own lives.This book will be of interest to historians and mathematicians already fascinated by the rich life of Felix Hausdorff, as well as to those readers who wish to immerse themselves in the intricate web of intellectual and political transformations during this pivotal period in European history.

Biographie des ungarischen Mathematikers János Bolyai (1802-1860), der etwa gleichzeitig mit dem russischen Mathematiker Nikolai Lobatschewski und unabhängig von ihm die nichteuklidische Revolution eingeleitet hat. Diese erbrachte den Nachweis, dass die euklidische Geometrie keine Denknotwendigkeit ist, wie Kant irrtümlicherweise annahm. Das Verständnis für die kühnen Gedankengänge verbreitete sich allerdings erst in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts durch die Arbeiten von Riemann, Beltrami, Klein und Poincaré. Die nichteuklidische Revolution war eine der Grundlagen für die Entwicklung der Physik im 20. Jahrhundert und für Einsteins Erkenntnis, dass der uns umgebende reale Raum gekrümmt ist. Tibor Weszely schildert das wechselvolle Leben des Offiziers der K.u.K.-Armee, der krank und vereinsamt starb. Bolyai hat sich auch intensiv mit den komplexen Zahlen und mit Zahlentheorie befasst, ebenso auch mit philosophischen und sozialen Fragen („Allheillehre“) sowie mit Logik und Grammatik.

Als P. R. Fuss, ein Urenkel Leonhard Eulers und seinerzeit standi- ger Sekretar der Petersburger Akademie der Wissenschaften, das zweibandige Werk Mathematischer und physikalischer Briefwech- sel einiger bedeutender Geometer des 18. Jahrhunderts heraus- gab, reservierte er den erst en Band fiir den Briefwechsel seines 1 beriihmten UrgroBvaters mit dessen Freund Christian Goldbach. 1m zweiten Band nimmt die Korrespondenz Goldbachs mit zwei 2 Vert ret ern der Familie Bernoulli, mit Nikolaus II und Daniel , einen beachtlichen Platz - mehr als 300 Seiten - ein. AIle diese Gelehrten des 18. Jahrhunderts waren Mitglieder der Pe- tersburger Akademie der Wissenschaften. Euler und Daniel Ber- noulli genieBen Weltruhm, Nikolaus II Bernoulli starb ganz jung, ohne geniigend Zeit gehabt zu haben, sein offensichtlich vorhan- denes Talent zu entfalten. Goldbachs wissenschaftliche Verdienste sind weitaus weniger bekannt, obwohl jeder Mathematiker schon etwas von der Goldbachschen Vermutung in der Zahlentheorie gehort hat.Fuss auBerte sich tiber Goldbach folgendermaBen: "Sein Briefwechsel zeigt, daB es der graBen Breite seiner Kennt- nisse geschuldet ist, wenn er auf keinem Spezialgebiet beriihmt wurde. Bald sehen wir ihn mit Bayer knifRige Fragen der klassi- schen und orientalischen Philologie behandeln; bald laBt er sich auf endlose Streitereien liber Archaologie mit dem berlihmten Stosch ein; hier zieht ihn Biilfinger zu den damals in Mode kom- menden metaphysischen Spekulationen heran, die indessen zu rein gar nichts fiihrten; dort regen Euler und die Bernoulli ihn an, sich mit Mathematik zu beschaftigen und weihen ihn in die Geheimnisse der hoheren Analysis und der Zahlentheorie ein.

Das Unendliche hat wie keine andere Frage von jeher so tief das Gemüt der Menschen bewegt," das Unendliche hat wie kaum eine andere Idee auf den Verstand so an­ regend und fruchtbar gewirkt," das Unendliche ist aber auch wie kein anderer Begriff so der Aufklärung bedürftig. HILBERT [226, p. 163] Etwas mehr als 100 Jahre sind vergangen, seit in den Mathemati­ schen Annalen der sechste und letzte Teil von CANTORS fundamenta­ ler Arbeit Über unendliche lineare Punktmannichfaltigkeiten erschie­ nen ist. Damit war die Mengenlehre geboren und mit ihr eine prinzipiell neue Auffassung des Unendlichen in der Mathematik, verkörpert in CANTORS Theorie der transfiniten Zahlen. Diese Theo­ rie hat HILBERT als «die bewundernswerteste Blüte mathematischen Geistes und überhaupt eine der höchsten Leistungen rein verstandes­ mäßiger menschlicher Tätigkeit» bezeichnet. Anfangs unbeachtet oder abgelehnt, zu Ende des vorigen Jahrhunderts zunehmend anerkannt und verwendet, durch die Ent­ deckung der Antinomien erneut erschüttert, ist die Mengenlehre in ihrer heutigen axiomatisierten Gestalt eines der Fundamente der Mathematik. Die Tatsache, daß alle mathematischen Begriffe auf mengentheoretische Begriffe zurückgeführt werden können, hat ei­ nige Autoren sogar zu der Behauptung veranlaßt, die gesamte Ma­ thematik sei letztendlich mit der Mengenlehre identisch. Wenn uns allerdings eine solche Ansicht als eine ungerechtfertigte Überbeto­ nung des Formalen gegenüber dem Inhaltlichen erscheint, so ist doch unbestritten, daß die mengentheoretische Durchdringung der Mathematik neben der Entstehung des strukturellen Denkens und der Verwendung der axiomatischen Methode ein Wesenszug der mo­ dernen Mathematik ist. Das hat in zahlreichen Ländern bis in denSchulunterricht hinein gewirkt.

Euklid, der Geometer aus Alexandria, und sein uberwiegend geometrisches literarisches Werk bilden den Mittelpunkt dieses Buches zur Geschichte der Mathematik. Es ist bis heute nicht mit letzter Sicherheit geklart, ob es einen Mathematiker mit dem Namen Euklid wirklich gegeben, wann er gelebt hat und ob die ihm zugeschriebenen Lehrbucher zur Mathematik und zur mathematischen Physik tatsachlich nur von ihm verfasst wurden. Trotz dieser Einschrankungen breitet der Autor das derzeit verfugbare Wissen uber die voreuklidische griechische Mathematik, die Traditionslinien der euklidischen Geometrie und die uber Jahrhunderte andauernde Wirkungsgeschichte der euklidischen Werke umfassend aus. Dabei wird an vielen Stellen deutlich, wie unzureichend unsere Kenntnisse uber die Rezeptionsgeschichte und wie luckenhaft das antike Quellenmaterial auch nach zweitausend Jahren immer noch sind. Das Buch spurt den vielfaltigen historischen und interkulturellen Aspekten und Facetten der Mathematik nach.

Das Riemannsche Integral lernen schon die Schüler kennen, die Theorien der reellen und der komplexen Funktionen bauen auf wichtigen Begriffsbildungen und Sätzen Riemanns auf, die Riemannsche Geometrie ist für Einsteins Gravitationstheorie und ihre Erweiterungen unentbehrlich, und in der Zahlentheorie ist die berühmte Riemannsche Vermutung noch immer offen. Riemann und sein um fünf Jahre jüngerer Freund Richard Dedekind sahen sich als Schüler von Gauss und Dirichlet. Um die Mitte des 19. Jahrhunderts leiteten sie den Übergang zur "modernen Mathematik" ein, der eine in Analysis und Geometrie, der andere in der Algebra mit der Hinwendung zu Mengen und Strukturen. Dieses Buch ist der erste Versuch, Riemanns wissenschaftliches Werk unter einem einheitlichen Gesichtspunkt zusammenzufassend darzustellen. Riemann gilt als einer der Philosophen unter den Mathematikern. Er stellte das Denken in Begriffen neben die zuvor vorherrschende algorithmische Auffassung von der Mathematik, welche die Gegenstände der Untersuchung, in Formeln und Figuren, in Termumformungen und regelhaften Konstruktionen als die allein legitimen Methoden sah. David Hilbert hat als Riemanns Grundsatz herausgestellt, die Beweise nicht durch Rechnung, sondern lediglich durch Gedanken zu zwingen. Hermann Weyl sah als das Prinzip Riemanns in Mathematik und Physik, "die Welt als das erkenntnistheoretische Motiv..., die Welt aus ihrem Verhalten im un- endlich kleinen zu verstehen."

Der Astronom F.W. Bessel gilt zusammen mit dem Mathematiker C.G.J. Jacobi und dem Physiker Franz Neumann als Begründer der sogenannten 'Königsberger Schule', die auf die Universitäten in Deutsch- land, aber auch in Russland und im gesamten osteuropäischen Raum, einen grossen Einfluss hatte. Als Autodidakt erwarb sich Bessel schon in jungen Jahren mit seinen astronomischen Arbeiten die Anerkennung der führenden Gelehrten seiner Zeit. Nachdem er als Professor an die Albertina nach Königsberg berufen worden war, erhielt er bereits mit 27 Jahren auf Betreiben von Gauss die Ehren- doktorwürde der Universität Göttingen. Ihm wurde die Planung und der Bau der Königsberger Sternwarte übertragen, die sich unter seiner Leitung zu einem internationalen Zentrum der Astronomie entwickelte. Bessel leistete aber nicht nur in der Astronomie und der Geodäsie Bedeutendes, sondern auch in der Theoretischen Mathematik. Diese Biographie beschränkt sich nicht auf die Schilderung der wissenschaftlichen Leistungen Bessels, sondern stellt ihn auch als Mensch und Persönlichkeit vor. Besondere Aufmerksamkeit widmet das Buch den engen wissenschaftlichen und persönlichen Be- ziehungen, die Bessel, nachdem er schon in jungen Jahren in die Petersburger Akademie aufgenommen worden war, zur russischen Wissenschaft und zu den russischen Wissenschaftlern entwickelt hat. Engagiert und lebendig schildert der Autor Bessels Lebensgeschichte und versucht, Bessels zahlreiche, weitgespannte wissenschaftliche Arbeiten und Leistungen auch dem Nichtfachmann verständlich und spannend darzustellen.

The Finnish mathematician and astronomer Anders Johan Lexell (1740–1784) was a long-time close collaborator as well as the academic successor of Leonhard Euler at the Imperial Academy of Sciences in Saint Petersburg. Lexell was initially invited by Euler from his native town of Abo (Turku) in Finland to Saint Petersburg to assist in the mathematical processing of the astronomical data of the forthcoming transit of Venus of 1769. A few years later he became an ordinary member of the Academy. This is the first-ever full-length biography devoted to Lexell and his prolific scientific output. His rich correspondence especially from his grand tour to Germany, France and England reveals him as a lucid observer of the intellectual landscape of enlightened Europe. In the skies, a comet, a minor planet and a crater on the Moon named after Lexell also perpetuate his memory.

This book presents, in his own words, the life of Hugo Steinhaus (1887–1972), noted Polish mathematician of Jewish background, educator, and mathematical popularizer. A student of Hilbert, a pioneer of the foundations of probability and game theory, and a contributor to the development of functional analysis, he was one of those instrumental to the extraordinary flowering of Polish mathematics before and after World War I. In particular, it was he who “discovered” the great Stefan Banach. Exhibiting his great integrity and wit, Steinhaus’s personal story of the turbulent times he survived – including two world wars and life postwar under the Soviet heel – cannot but be of consuming interest. His account of the years spent evading Nazi terror is especially moving. The steadfast honesty and natural dignity he maintained while pursuing a life of demanding scientific and intellectual enquiry in the face of encroaching calamity and chaos show him to be truly a mathematician for all seasons.The present work will be of great interest not only to mathematicians wanting to learn some of the details of the mathematical blossoming that occurred in Poland in the first half of the 20th century, but also to anyone wishing to read a first-hand account of the history of those unquiet times in Europe – and indeed world-wide – by someone of uncommon intelligence and forthrightness situated near an eye of the storm.

This book presents, in his own words, the life of Hugo Steinhaus (1887–1972), noted Polish mathematician of Jewish background, educator, and mathematical popularizer. A student of Hilbert, a pioneer of the foundations of probability and game theory, and a contributor to the development of functional analysis, he was one of those instrumental to the extraordinary flowering of Polish mathematics before and after World War I. In particular, it was he who “discovered” the great Stefan Banach. Exhibiting his great integrity and wit, Steinhaus’s personal story of the turbulent times he survived – including two world wars and life postwar under the Soviet heel – cannot but be of consuming interest. His recounting of the fearful years spent evading Nazi terror is especially moving. The steadfast honesty and natural dignity he maintained while pursuing a life of demanding scientific and intellectual enquiry in the face of encroaching calamity and chaos show him to be truly a mathematician for all seasons.The present work will be of great interest not only to mathematicians wanting to learn some of the details of the mathematical blossoming that occurred in Poland in the first half of the 20th century, but also to anyone wishing to read a first-hand account of the history of those unquiet times in Europe – and indeed world-wide – by someone of uncommon intelligence and forthrightness situated near an eye of the storm.

The Finnish mathematician and astronomer Anders Johan Lexell (1740–1784) was a long-time close collaborator as well as the academic successor of Leonhard Euler at the Imperial Academy of Sciences in Saint Petersburg. Lexell was initially invited by Euler from his native town of Abo (Turku) in Finland to Saint Petersburg to assist in the mathematical processing of the astronomical data of the forthcoming transit of Venus of 1769. A few years later he became an ordinary member of the Academy. This is the first-ever full-length biography devoted to Lexell and his prolific scientific output. His rich correspondence especially from his grand tour to Germany, France and England reveals him as a lucid observer of the intellectual landscape of enlightened Europe. In the skies, a comet, a minor planet and a crater on the Moon named after Lexell also perpetuate his memory.

This book presents, in his own words, the life of Hugo Steinhaus (1887–1972), noted Polish mathematician of Jewish background, educator, and mathematical popularizer. A student of Hilbert, a pioneer of the foundations of probability and game theory, and a contributor to the development of functional analysis, he was one of those instrumental to the extraordinary flowering of Polish mathematics before and after World War I. In particular, it was he who “discovered” the great Stefan Banach. Exhibiting his great integrity and wit, Steinhaus’s personal story of the turbulent times he survived – including two world wars and life postwar under the Soviet heel – cannot but be of consuming interest. His account of the years spent evading Nazi terror is especially moving. The steadfast honesty and natural dignity he maintained while pursuing a life of demanding scientific and intellectual enquiry in the face of encroaching calamity and chaos show him to be truly a mathematician for all seasons.The present work will be of great interest not only to mathematicians wanting to learn some of the details of the mathematical blossoming that occurred in Poland in the first half of the 20th century, but also to anyone wishing to read a first-hand account of the history of those unquiet times in Europe – and indeed world-wide – by someone of uncommon intelligence and forthrightness situated near an eye of the storm.

This book presents, in his own words, the life of Hugo Steinhaus (1887–1972), noted Polish mathematician of Jewish background, educator, and mathematical popularizer. A student of Hilbert, a pioneer of the foundations of probability and game theory, and a contributor to the development of functional analysis, he was one of those instrumental to the extraordinary flowering of Polish mathematics before and after World War I. In particular, it was he who “discovered” the great Stefan Banach. Exhibiting his great integrity and wit, Steinhaus’s personal story of the turbulent times he survived – including two world wars and life postwar under the Soviet heel – cannot but be of consuming interest. His recounting of the fearful years spent evading Nazi terror is especially moving. The steadfast honesty and natural dignity he maintained while pursuing a life of demanding scientific and intellectual enquiry in the face of encroaching calamity and chaos show him to be truly a mathematician for all seasons.The present work will be of great interest not only to mathematicians wanting to learn some of the details of the mathematical blossoming that occurred in Poland in the first half of the 20th century, but also to anyone wishing to read a first-hand account of the history of those unquiet times in Europe – and indeed world-wide – by someone of uncommon intelligence and forthrightness situated near an eye of the storm.

L’auteur, mathématicien, mais dont l‘horizon ne s‘est jamais borné aux mathématiques, évoque ici les souvenirs d’une carrière qui l’a mené dans plusieurs continents : Italie et Allemagne d’abord, puis l’Inde où il séjourna et enseigna à une époque décisive pour l’histoire de ce pays, et où il rencontra brièvement Ghandi, et plus longuement Jawaharlal Nehru ; l’U.R.S.S., à un moment où le stalinisme semblait se relâcher avant de rependre bientôt en toute férocité ; Princeton, le « clearing house » moderne des idées mathématiques, dit parfois le paradis des mathématiciens ; la prison, en Finlande, où, pris pour un espion soviétique, il manqua de peu le poteau d’exécution, puis en France où il fut condamné pour avoir tenté de se soustraire à ses obligations militaires, et où il eut le temps de rédiger à la prison de Rouen l’un de ses meilleurs travaux mathématiques ; l’Angleterre où il vécut la bataille de Londres avant de se retrouver en France et d’en repartir pour l’Amérique ; le Brésil enfin, terme de ses vicissitudes. A travers ces épisodes souvent pittoresques s’est déroulé un destin de mathématicien dont l’un des points saillants fut sa participation à la fondation du groupe Bourbaki, auteur collectif d’un traité déjà devenu classique.

Evariste Galois' short life was lived against the turbulent background of the restoration of the Bourbons to the throne of France, the 1830 revolution in Paris and the accession of Louis-Phillipe. This new and scrupulously researched biography of the founder of modern algebra sheds much light on a life led with great intensity and a death met tragically under dark circumstances. Sorting speculation from documented fact, it offers the fullest and most exacting account ever written of Galois' life and work. It took more than seventy years to fully understand the French mathematician's first mémoire (published in 1846) which formulated the famous "Galois theory" concerning the solvability of algebraic equations by radicals, from which group theory would follow. Obscurities in his other writings - mémoires and numerous fragments of extant papers - persist and his ideas challenge mathematicians to this day. Thus scholars will welcome those chapters devoted specifically to explicating all aspects of Galois' work. A comprehensive bibliography enumerates studies by and also those about the mathematician.

Euklid, der Geometer aus Alexandria, und sein uberwiegend geometrisches literarisches Werk bilden den Mittelpunkt dieses Buches zur Geschichte der Mathematik. Es ist bis heute nicht mit letzter Sicherheit geklart, ob es einen Mathematiker mit dem Namen Euklid wirklich gegeben, wann er gelebt hat und ob die ihm zugeschriebenen Lehrbucher zur Mathematik und zur mathematischen Physik tatsachlich nur von ihm verfasst wurden. Trotz dieser Einschrankungen breitet der Autor das derzeit verfugbare Wissen uber die voreuklidische griechische Mathematik, die Traditionslinien der euklidischen Geometrie und die uber Jahrhunderte andauernde Wirkungsgeschichte der euklidischen Werke umfassend aus. Dabei wird an vielen Stellen deutlich, wie unzureichend unsere Kenntnisse uber die Rezeptionsgeschichte und wie luckenhaft das antike Quellenmaterial auch nach zweitausend Jahren immer noch sind. Das Buch spurt den vielfaltigen historischen und interkulturellen Aspekten und Facetten der Mathematik nach.

Hermann Graßmann, Gymnasiallehrer in Stettin und bekannt als Begründer der n-dimensionalen Vektoralgebra, erwarb sich auch in der Physik und der Sprachforschung bleibende Verdienste. Gestützt auf die Dialektik Schleiermachers entwickelte er in seinem Hauptwerk, der Ausdehnungslehre, mit philosophischer Methode eine völlig neue mathematische Disziplin. Zunächst von der Fachwelt abgelehnt, wurde sein Werk Jahrzehnte später als wegweisend gefeiert. Die Biographie geht dem komplexen Geflecht innerer und äußerer Einflüsse nach, innerhalb derer Graßmann sein Schöpfertum entfaltete.