Teubner Studienbücher Mathematik – serie

In neuerer Zeit sind so viele Lehrbücher über Approximationstheorie erschienen, daß man nach der Berechtigung eines weiteren Buches fragen mag. Die Motivie­ rung ergab sich aus der Tatsache, daß sowohl in der Zeitschriftenliteratur über Approximationstheorie als auch in den meisten Lehrbüchern relativ wenig auf die Anwendungen eingegangen wird. Es scheint in der heutigen Zeit eine gewisse Diskrepanz zu bestehen zwischen manchen viel von Mathematikern bearbeiteten Gebieten und den Gebieten, deren mathematische Untersuchung von seiten der Anwendungen aus dringend erwünscht wäre. Die in physikalischen und technischen Fragestellungen auftretenden Approximationsprobleme sind, im Zug der fort­ schreitenden Entwicklung, so vielseitig und oft andersartig als in der bisher ge­ wöhnlich betrachteten Theorie und dabei zugleich häufig mathematisch sehr interessant und tiefliegend, so daß sich hier ein außerordentlich reiches Betäti­ gungsfeld für die mathematische Forschung ergibt. Sehr oft sind wir von Studen­ ten, Diplomanden, Doktoranden nach Themen aus der Approximationstheorie gefragt worden, die zugleich praktische Bedeutung haben, und da hierüber viel­ fach nicht genügend bekannt zu sein scheint, versucht dieses Büchlein, die Lücke zwischen Theorie und Anwendungen ein wenig aufzufüllen. Da bei den Anwen­ dungen von den verschiedenen Approximationsarten die Tschebyscheffsche Approximation, kurz T. A. , die anderen Typen an Bedeutung weit zu übertreffen scheint, befaßt sich das Buch vorwiegend mit der T. A. , und zwar sowohl mit der Theorie als auch mit den Anwendungen. Der Brücke zwischen bei den dienen auch verschiedene Übungsaufgaben am Schluß des Buches.

Hauptziel des vorliegenden zweiten Teils der Numerik von An­ fangswertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen ist es, die heute zur Verfügung stehenden Verfahren einschließ­ lich ihrer mathematischen Behandlung darzustellen. Dementsprechend ist wie im ersten auch in diesem Teil der Versuch unternommen worden, die wirkungsweise der Verfahren allein, in meist gesonderten Abschnitten, zu beschreiben, die losgelöst von den detaillierteren mathematischen Untersuchun­ gen verstanden werden können und insbesondere auch für den vorwiegend anwendungsorientierten Leser gedacht sind. In den anderen Passagen des Buches ist dann soweit wie möglich das Studium der mathematischen Eigenschaften der Verfahren vorge­ nommen worden. Wenn die Durchführung eines solchen Programms auch nur unter Beschränkungen in der Stoffauswahl möglich ist, so ist doch versucht worden, die heute gängigen Verfahren, auch speziell für die sog. steifen Differentialgleichungssysteme, aufzu­ nehmen. Auch die in den letzten Jahren in Gang gekommene Ver­ wendung von Mehrschrittverfahren mit variablen Schrittweiten ist berücksichtigt worden. Ebenso werden Verfahren für Syste­ me höherer Ordnung mit Möglichkeiten der Reduzierung des Rundungsfehlereinflusses dargestellt. Die mathematische Analyse ist so angelegt worden, daß damit möglichst auch die in der Praxis Verwendung findenden Ver­ fahren er faßt werden. Demgemäß sind die Stabilitätsfragen ausführlich behandelt worden. Konvergenzuntersuchungen werde~ wenigstens ansatzweise, für variable Schrittweiten vorgenom­ men, bei Systemen höherer Ordnung auch für die Differenzen­ quotienten bis zur Ordnung der Differentialgleichung. Eingang gefunden haben auch asymptotische Entwicklungen und neuere Ergebnisse über optimaleFehlerabschätzungen.

In den vergangenen drei Jahrzehnten findet man sowohl in theo­ retisch ausgerichteten als auch in anwendungsorientierten Zeit­ schriften in zunehmendem Maße Beiträge zum Thema "Suchen". Dabei ist auffallend, daß sehr verschiedenartige Probleme als Suchpro­ bleme klassifiziert werden und daß Forscher der verschiedenen Fach­ richtungen häufig sehr wenig über Ergebnisse, die in ihnen nicht vertrauten Gebieten erzielt wurden, informiert sind. Mit diesem Buch wird ein Versuch unternommen, das umfangreiche Material so darzustellen, daß dem Leser ein schneller Einstieg in den Fragenkreis und ein möglichst umfassender Uberblick ermöglicht wird. Es war unser Ziel, die wesentlichen Arbeiten auf dem Gebiet nach neuestem Stand zu behandeln, aber wir erheben keinen Anspruch auf Vollständigkeit in irgendeinem Sinne, da schon der Rahmen dieses Buches einem solchen Verlangen nicht gerecht werden kann. Bei einigen Arbeiten, die es an sich verdient hätten, ausführlich dargestellt zu werden, haben wir uns deshalb auf die Angabe ihrer Ergebnisse beschränkt. Der interessierte Forscher wird so in den Stand versetzt, sich seinen Weg durch die Literatur selbst zu bahnen. Das Buch dürfte für den Experten als Nachschlagewerk nütz­ lich sein. Aber unser Hauptanliegen ist es, jedem Leser mit der Bereit­ schaft und der Fähigkeit zu abstraktem, formalen Denken einen Zu­ gang zu den grundlegenden Ideen, Methoden und Resultaten des Ge­ bietes zu ermöglichen, die noch nicht in Büchern erschienen sind, aber von ihrer Bedeutung her eine weitere Verbreitung verdienen.

In den letzten Jahren wurde ich immer häufiger von Studenten ge­ fragt, warum sich ein mathematisches Gebiet gerade in dieser (meist in der Vorlesung vorgestellten) Weise entwickelt hat und nicht an­ ders, was die hauptsächlichen Triebfedern waren, und wie es weiter­ geht. Insbesondere interessierte, neben anderen Faktoren wie An­ wendbarkeit oder Querverbindungen zu anderen Gebieten, die Rolle, welche die großen klassischen Probleme bei der Entwicklung einer Theorie spielten. Die kürzlich erfolgte ungewöhnliche Lösung des 4-Farben Problems war mir ein willkommener Anlaß, den genauen Einfluß zu studieren, den dieses universell bekannte Problem vornehmlich auf die Graphen­ theorie hatte. Vielleicht schärfer als anderswo scheiden sich arn 4-Farben Problem die Geister. Die einen sagen, die Mathematik, die das 4-Farben Problem hervorgebracht hat, ist eine Marginalie und die Lösung mit ihrem enormen Computer Einsatz ist vorn ästheti­ schen Standpunkt aus geradezu abschreckend. Die anderen wieder~ meinen, daß das 4-Farben Problem fast im Alleingang eine ganze Dis­ ziplin hat entstehen lassen, eben die Graphentheorie, wie es in diesem Umfang höchst selten vorkommt, und daß die Lösung mit ihren vielfältigen Aspekten inner- und außermathematischer Art weit in die Zukunft weist. Die Arbeit an diesem Buch hat mich überzeugt, daß die zweite Auffassung eher zutrifft - und es ist meine Hoff­ nung, daß mir in der Darstellung hinreichende Argumente dafür ge­ lungen sind.

In Westeuropa, Nordarnerika und Japan entfallen im statistischen Mittel auf jeden Bürger mindestens ein Versicherungsvertrag, in einigen dieser Länder mehr als ein Versicherungsvertrag. Zu den in der Bevölkerung bekanntesten Versicherungen zählen die Lebensver­ sicherung, Krankenversicherung, KFZ-Versicherung, Unfallversiche­ rung, Rechtsschutzversicherung, Haftpflichtversicherung, Hausrat­ versicherung und Tierversicherung. All diesen und den hier nicht aufgeführten Versicherungen ist ge­ mein, daß sie gewisse Personen vor den wirtschaftlich nachteiligen Folgen eines Ereignisses, dessen Eintritt oder dessen Zeitpunkt des Eintritts ungewiß ist, schützen sollen. So schützt der Lebensver­ sicherungsvertrag, abgeschlossen auf das Leben des Versorgers ei­ ner Familie, im Falle des Ablebens des Versorgers (hier ist der Eintritt des Ereignisses "Tod" sicher, sieht man von den in der Bibel beschriebenen Fällen einmal ab, der Zeitpunkt des Todes aller­ dings ist in der Regel nicht vorhersehbar) die Hinterbliebenen vor den wirtschaftlich nachteiligen Folgen. Der Haftpflichtversicherer schützt die versicherte Person, falls diese rechtswidrig und schuld­ haft einen Schaden verursacht hat, vor den wirtschaftlich nachtei­ ligen Folgen, die ihr durch die Ansprüche entstehen, die der Ge­ schädige an sie stellt. Der Versicherer kann dem Geschädigten den erlittenen Schaden ersetzen. Der Haftpflichtversicherer schützt die versicherte Person aber auch dadurch, daß er unbegründete Schaden­ ersatzansprüche von ihm abwendet.

Obwohl noch nie so viele Daten über die Welt zur Verfügung standen wie heute, wird die Wirklichkeit immer undurchsichtiger. Sie präsentiert sich als Ansamm­ lung voneinander getrennter Einzelbereiche, schön geordnet nach Ressorts und Fachbereichen und damit zu Bruchstücken auseinandergerissen. Ihrem Wesen nach ist die Realität jedoch ein vernetztes System, in dem es oft weniger auf jene Einzelbereiche ankommt als auf die Beziehungen zwischen ihnen. Damit ist ein Ziel dieses Buches angesprochen: Es faßt die Wirklichkeit auf als dynamisches Wechselspiel zwischen Zuständen und Flüssen. Und mit Hilfe dieser beiden Bau­ steine - Zustände und Zustandsänderungen (Flüsse) - werden Ausschnitte aus der Wirklichkeit modellhaft als vernetzte Systeme dargestellt. Die Güte derartiger Modelle mißt sich in der Regel daran, wie gut sie die realen Bewegungen simulieren, das heißt nachahmen. Das zweite Anliegen ist daher die Analyse der Dynamiken dieser Modelle, das heißt ihres Lösungsverhaltens in Ab­ hängigkeit von der Zeit. Die Dynamiken natürlicher Systeme sind in der Regel periodisch und nicht linear. Sie ergeben sich aus der Verknüpfung einfacher Rhythmen wie Geborenwerden und Sterben oder Tag und Nacht. Am Beginn des Buches steht eine anschauliche Einführung in die ModelIierung dynamischer Vorgänge mit Hilfe von Zuständen und Flüssen. Am Beispiel eines "Weltmodells" wird ein Arbeitskonzept vorgestellt, welches den Leser von einer umgangssprachlichen Problembeschreibung hinführt zur mathematischen Darstel­ lung des Problems als Differential- bzw. Differenzengleichungssystem.

Bücher über Vektoranalysis beginnen üblicherweise mit der Definition eines Vektors als Äquivalenzklasse gerichteter Strecken - oder weniger genau, als Größe, die sowohl eine Richtung als auch eine Länge hat. Diese Einführung ist wegen ihres einfach erscheinenden Konzeptes einprägsam, aber sie führt zu logischen Schwierigkeiten, die nur durch sorgfältiges Vorgehen gelöst werden können. Folgerichtig haben Studenten oft Probleme, die Anfänge der Vektoranalysis vollständig zu verstehen und verlieren schnell an Vertrauen. Eine andere Unzulänglichkeit ist es, daß bei der weiteren Entwicklung häufig auf die geometrische Anschauung zurückgegriffen wird und viel Sorgfalt nötig ist, um analytische Zusammenhänge nicht zu verwischen oder zu übersehen. So wird z. B. selten klar, daß bei der Definition des Gradienten eines Skalarfeldes, der Divergenz oder der Rotation eines Vektorfeldes vorausgesetzt werden muß, daß die Felder stetig differenzierbar sind und daß die bloße Existenz der partiellen Ableitungen erster Ordnung unzureichend ist. Der Einstieg in die Vektoranalysis, der in diesem Band gewählt wurde, basiert auf der Definition eines Vektors mit Hilfe rechtwinkliger kartesischer Komponenten, die bei einer Änderung der Achsen vorgegebene Transformationsgesetze erfüllen. Dieser Einstieg wurde seit 10 Jahren erfolgreich in Anfängervorlesungen für Mathematiker und andere Naturwissenschaftler benutzt und bietet einige Vorteile. Regeln zur Addition und Subtraktion von Vektoren, zur Berechnung des Skalar- und Vektor­ produktes und zum Differenzieren sind schnell greifbar und die Möglichkeit, Vektoren so einfach zu handhaben, gibt den Studenten unmittelbares Zutrauen. Der spätere Einstieg in die Theorie der Vektorfelder erscheint natürlich, daGradient, Divergenz und Rotation in ihrer Koordinatenform definiert sind.

In vielen Studienordnungen für das Mathematik-Studium an deut­ schen Hochschulen sind einführende Vorlesungen über Stochastik (Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematische Statistik) vorgese­ hen, an denen sowohl Hörer teilnehmen, die sich im Verlauf ihres Studiums verstärkt mit Stochastik befassen wollen, als auch solche, die sich anschließend anderen Bereichen der Mathematik zuwenden. Will man der ersten Gruppe gerecht werden, so liegt es nahe, zunächst systematisch ein maßtheoretisches Fundament zu schaffen, um erst danach zu den eigentlich stochastischen Fragestellungen überzuleiten. Hierbei kommt allerdings die zweite Gruppe zu kurz, die natürlicherweise dar an interessiert ist, einen bis zu einem gewissen Grad in sich abgeschlossenen Einblick in Denkweisen und Methoden der Stochastik zu erhalten, die jedoch kein Interesse dar­ an hat, einen Großteil der zur Verfügung stehenden Zeit einer sy­ stematischen Erarbeitung maßtheoretischer Grundlagen zu opfern. Viele Autoren haben den Bedürfnissen der letztgenannten Gruppe da­ durch Rechnung getragen, daß sie unter Verzicht auf maßtheoreti­ sche Begriffsbildungen die grundlegenden Ideen der Stochastik an­ hand spezieller Modelle, bei denen keine maßtheoretischen Kennt­ nisse benötigt werden, entwickeln. Aber auch diese Vorgehensweise birgt Nachteile: Solche, meist als "elementar" bezeichneten Darstellungen sind wenig praktikabel als Basis für weiterführende Veranstaltungen der Stochastik. Eini­ ge Mühe muß später darauf verwendet werden, die anhand von Spezial­ fällen entwickelten Begriffe in maßtheoretischem Gewand erneut zu formulieren und auf ihre Konsistenz mit den alten Begriffen zu überprüfen.