Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Ökonomen und Landwirte – serie

Im allgemeinsten Sinne versteht man unter Simulation die Untersuchung eines Prozesses oder eines Systems mit Hilfe eines Ersatzsystems. Häufig zitierte Beispiele für derartige Simulationen sind Simulatoren bei der Ausbildung von Flugzeugpiloten oder in Fahrschulen. Die Gründe für ein derartiges Vorgehen liegen auf der Hand. Es sind in erster Linie geringere Kosten und geringere Gefahr; in vielen prakiischen Fällen sind darüber hinaus Untersuchungen am realen System gar nicht möglich, wie spätere Beispiele zeigen werden. Wichtige Ersatzsysteme für Simulationen stellen die mathematischen Modelle dar, die den zu untersuchenden Prozeß beschreiben und die auf einem Digitalrechner aus­ gewertet werden. In einem solchen Falle spricht man von digitaler Simulation oder Simulation im engeren Sinne. Im folgenden werden wir uns mi~ derartigen Simula­ tionen beschäftigen. Meist tritt noch ein weiteres Moment hinzu, nämlich das Experimentieren mit einem solchen Modell. Das ist darin begründet, daß die Modelle oft sehr kompliziert und umfangreich sind, so daß keine expliziten mathematischen Methoden zur Be­ stimmung von Optimallösungen vorliegen; diese können dann nur über Varianten­ rechnungen ermittelt werden. Aus diesen Gründen spricht man im Zusammenhang mit der Simulation oft auch von experimenteller Mathematik.

Während der Student zu Beginn der Differential- und Integralrechnung in der Regel bereits über Grundkenntnisse in diesen Stoffgebieten verfügt, tritt er in das Studium der algebraischen Strukturen - hier speziell der Gruppentheorie - ohne schulische Vorkenntnisse und ohne Molivierungen ein. Lehrveranstaltungen zu Symmetriegruppen vor Chemikern haben gezeigt, daß dieser Start zudem u. a. mit Schwierigkeiten bei der stärkeren Hinwendung zu begrifflichem und strukturellem Denken - besonders hinsichtlich des Abstraktionsvermögens - verbunden ist. Die den Gruppenbegriff betreffende naturwissenschaftlich orientierte Literatur, die dem Studierenden gegenwärtig zur Verfügung steht, trägt diesem Umstand wenig Rechnung. Deshalb haben wir uns im vorliegenden Band bemüht, Theorie und "Praxis" nicht nacheinander, sondern in gegenseitiger Durchdringung gleichzeitig zu entwickeln. Dabei werden Begriffe, Operationen, Strukturen usw. im wesentlichen von einem immer wieder benutzten, genügend repräsentativen Beispiel abgeleitet oder an diesem ausprobiert und erläutert. Deshalb sollte der Abschnitt 2. 3. 1. auf­ merksam durchg~arbeitet werden. In ihm wird dieses Beispiel vorgestellt und dabei in heuristischer Weise auf den Gruppenbegriff hingearbeitet. Die in manchen Lehr­ büchern mit übermäßiger Kürze in der Darstellung verbundenen Schwierigkeiten wurden anfänglich bewußt vermieden - zum Nachteil der Reichweite dieser Einfüh­ rung in die Theorie. Für weitergehende Studien steht ausreichend Literatur zur Ver­ fügung, die entsprechend zitiert wird. Daß wir die Hinführung zum Gruppenbegriff an Symmetriebetrachtungen für Mole­ küle bzw. Kristalle gebunden haben, beruht einerseits auf der Interessenlage in der Chemie und Physik, bedeutet andererseits jedochkeine Einschränkung. Denn die Kerngerüste von Molekülen bzw.

In diesem Band werden einige spezielle Funktionen dargestellt, denen man bei der Integration von Differentialgleichungen der mathematischen Physik und in den Ingenieurwissenschaften begegnet. Dabei wird dem allgemeinen Anliegen dieser Lehr­ buchreihe weitgehend Rechnung getragen, daß die Studierenden ihre mathematischen Kenntnisse und Fertigkeiten im Zusammenhang mit deren Anwendungen erwerben sollen. Die Theorie wird nur soweit behandelt, wie sie zum Verständnis der physika­ lischen und technischen Probleme erforderlich ist. Reihenentwicklungen und Integraldarstellungen der zu beschreibenden Funk­ tionen, die als Lösungen von Differentialgleichungen auftreten, stehen ebenfalls im Vordergrund der Betrachtungen. Von den Eigenschaften konnten nur die wichtigsten, für praktische Erfordernisse notwendige angegeben werden. Die mathematischen Untersuchungen werden insbesondere in den Kapiteln 2 bis 5 vorwiegend im Kom­ plexen durchgeführt. Jedoch wird mit Rücksicht auf die physikalisch-technischen Anwendungen immer auf die Darstellung im Reellen bezug genommen. Die Auswahl der Funktionen wurde ebenfalls von den Anwendungsmöglichkeiten bestimmt. Das erklärt insbesondere die breitere Darstellung der Besselschen und der Kugelfunk­ tionen. Bedingt durch diesen Grundsatz konnte daher nicht in allen Kapiteln ein einheitliches mathematisches Vorgehen eingehalten werden. Vielmehr werden die­ jenigen Methoden bevorzugt, die den Besonderheiten der jeweiligen Funktionen angepaßt sind. Das hat andererseits den Vorteil, daß die wesentlichen Kapitel 3 und 4 unabhängig voneinander lesbar sind. Im ersten Kapitel werden einige wichtige Begriffe zu orthogonalen Funktionen­ systemen bereitgestellt, die zum Verständnis der Reihenentwicklung beitragen. Dabei werden dieLaguerreschen, Hermiteschen und Tschebyschewschen Polynome als Beispiele ausfÜhrlicher besprochen.

11 stellt die Gesamtbearbeitungszeit dar. Sie ist zu maximieren, um den Zeitfonds so gut wie möglich auszunutzen. Somit lautet das mathematische Modell der angegebenen AufgabensteIlung: Die lineare Zielfunktion ZF: (2.1) ist unter Berücksichtigung der folgenden Nebenbedingungen zu maximieren: NB: IOxl + 10x2 < 8000, IOxl + 30x < 18000, (2.2) 2 20XI + 10x2 < 14000, Unter allen möglichen Lösungen der Nebenbedingungen ist diejenige gesucht, die die Zielfunktion maximiert. Drei mögliche Lösungen sind z. B. l. x0> = [Xl' X ] = [700,0], 2 2. x~> = [Xl' X] = [0, 600], 2 3. x0> = [Xl' X2] = [300, 500], denn werden die Zahlenwerte für Xl und X in die Nebenbedingungen eingesetzt, so 2 sind diese erfüllt. Zu XCI): NB: 10·700 + 10·0 = 7000 < 8000, 10 . 700 + 30 . 0 = 7000 < 18000, 20·700 + 10·0 = 14000 < 14000, 700 ::2 0, 0 > O. ZF: Z(xC!» = 40·700 + 50·0 = 28000. Die benötigte Gesamtbearbeitungszeit beträgt also 28000 h, wenn 700 St. vom Werk­ stück EI und 0 St. vom Werkstück E2 bearbeitet werden. 12000 h werden bei diesem Produktionsprogramm vom Gesamtzeitfonds nicht genutzt. Gegenüber der Lösung X(l) ist die Lösung X(2) besser, da bei ihr nur 10000 h vom Gesamtzeitfonds ungenutzt bleiben, bzw. 30000 h genutzt werden. Die Lösung X(3) ist weit besser als die beiden vorhergehenden, da bei ihr nur noch 3000 h ungenutzt bleiben und 37000 h genutzt werden.

Da seit dem Erscheinen der ersten Auflage mehr als ein Dutzend Jahre vergangen sind, machte sich eine gründliche Überarbeitung des Bandes nötig. Das Kapitel "Gleichungssy­ steme" wurde erweitert durch Ausführungen zur Lösung von tridiagonalen linearen Glei­ chungssystemen; die Ausführungen zur Interpolation wurden stark verändert; der Ab­ schnitt "Anfangswertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen" wurde völlig neu verfaßt. Die moderne Entwicklung und der weitverbreitete Einsatz von elektronischen Rechen­ anlagen (Computern) üben starken Einfluß auf die numerische Mathematik aus. Zwischen numerischer Mathematik und Informatik haben sich enge Wechselbeziehungen entwik­ kelt. Die moderne Rechentechnik hat neue Maßstäbe in der Wertung und Einschätzung numerischer Verfahren gebracht, Einfluß auf die theoretische Weiterentwicklung der nu­ merischen Mathematik genommen, in großem Umfang zur Weiter-und Neuentwicklung numerischer Algorithmen geführt und es ermöglicht, immer größere und komplexere Pro­ bleme in Angriff zu nehmen. Dieser Entwicklung wurde bei der Überarbeitung dieses Bandes zum Beispiel bei der Auswahl der Verfahren und durch die relativ gründliche Be­ handlung von Stabilitätsfragen Rechnung getragen. Die Autoren versuchen der legitimen Forderung nach Querverbindungen zur Informatik auch dadurch nachzukommen, daß an das Ende jedes Kapitels ein Abschnitt "Programmierung und Software" angefügt wurde. Für drei ausgewählte grundlegende Verfahren werden Programmablaufpläne angegeben. Die Angabe von vollständigen Programmen oder von Programmablaufplänen für jedes Verfahren würde den Rahmen und den Umfang dieses Bandes sprengen und ist der Spe­ zialliteratur vorbehalten; ein Verzeichnis ausgewählter, weiterführenderSpezialliteratur ist dem eigentlichen Literaturverzeichnis beigefügt.

Die vorliegende Sammlung von Fragen und Aufgaben zur Linearen Algebra und Analytischen Geometrie stützt sich auf Erfahrungen, die die Autoren bei der mathematischen Grundausbildung von Studenten der Natur- und Ingenieurwis­ senschaften an der Technischen Universität Bergakademie Freiberg über Jahre hinweg gesammelt haben. Das Buch soll der Festigung und Vertiefung des in den Vorlesungen gebotenen Stoffes dienen, die Nutzer zum Selbststudium anregen und vor allem bei der Vorbereitung auf Klausuren und mündliche Prüfungen im Rahmen des Vordiploms Orientierung und Hilfsmittel sein. Das Buch ist in fünf Komplexe mit entsprechenden Teilabschnitten gegliedert. Jeder Teilabschnitt beginnt mit einer Zusammenstellung wichtiger Formeln und Eigenschaften, die gleichzeitig als Basis für die nachfolgenden Fragen und Auf­ gaben des jeweiligen Abschnitts anzusehen sind. Dem Zweck des Buches ent­ sprechend wurde die Zusammenstellung knapp gehalten und erhebt keinen An­ spruch auf Vollständigkeit. Für weitergehende Fragestellungen sollten bei Bedarf die im Literaturverzeichnis angegebenen Lehrwerke genutzt werden. Am Ende eines jeden Komplexes findet der Nutzer die Antworten zu allen gestellten Fra­ gen, Lösungen und in vielen Fällen auch Ansätze sowie Lösungshinweise zu den Aufgaben. Vorschläge und Hinweise, die der Verbesserung und Vervollkommnung des Bu­ ches dienen, nehmen die Autoren gern entgegen. Besonderer Dank gilt den Mitarbeiterinnen Frau Dipl.-Ing.(FH) I. Gugel und Frau M. Löscher für die sorgfältige Anfertigung der Druckvorlage und Herrn Dipl.-Math. R. Pohlink für die Herstellung der Abbildungen. Dem Teubner­ Verlag, insbesondere Herrn J. Weiß, sprechen wir für die Anregungen zu diesem Projekt und für die konstruktive Zusammenarbeit unseren Dankaus.

Dieses Lehrbuch ist eine verstandlich geschriebene, kompakte Einfuhrung in die numerische Mathematik. Es wendet sich an all jene, die numerische Verfahren zur Computersimulation realer Prozesse mittels mathematischer Modelle einsetzen und die Grundgedanken der dazu geeigneten Verfahren verstehen wollen. Schwerpunkte bilden numerische Verfahren fur lineare und nichtlineare Gleichungssysteme, Eigenwertaufgaben, Interpolation und Approximation, numerische Differentiation und Integration sowie fur Anfangswertaufgaben bei gewohnlichen und Randwertaufgaben bei partiellen Differentialgleichungen. Ausserdem geben die Autoren, die uber langjahrige Lehr- und Forschungserfahrungen verfugen, zahlreiche Hinweise auf moderne vertiefende Literatur und aktuelle verfugbare Software.

Diese bewahrte Aufgabensammlung fur Ingenieure und Naturwissenschaftler vereint in sechs Kapiteln mehrere hundert erprobte Ubungsaufgaben zu den Grundlagen der linearen Algebra und der linearen Optimierung. Das thematische Spektrum reicht von Matrizen und Determinanten uber Vektorrechnung, lineare Gleichungssysteme, Gleichungen von Geraden und Ebenen, Kurven und Flachen 2. Ordnung, lineare Raume, lineare Abbildungen, Eigenwerte und Eigenvektoren bis zum Simplexverfahren und ganzzahligen Optimierungsaufgaben.

Dieses Buch wendet sich an Studenten der Natur- und Ingenieurwissenschaften der ersten Semenster an Universitaten und Fachhochschulen. Es enthalt ausgewahlte mathematische Aufgaben aus Ubungen und Klausuren mit mehr als 900 einzelnen Teilaufgaben, versehen mit zahlreichen Hinweisen sowie ausfuhrlichen Losungen. Thematische Schwerpunkte sind Mengenlehre und Logik, reelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen, Funktionen, Vektoren und analytische Geometrie, lineare Gleichungssysteme, Zahlenfolgen, Grenzwerte, Stetigkeit sowie Differential- und Integralrechnung.

Lineare Algebra spielt in der mathematischen Modellierung und Bearbeitung von Anwendungsproblemen eine entscheidende Rolle. Das von erfahrenen Hochschullehrern verfasste Buch gibt eine verstandliche und systematische Einfuhrung in dieses Gebiet. Es wendet sich an alle Studierende an Universitaten und Fachhochschulen, fur die Mathematik ein wichtiges Grundlagenfach ist.

Die Simulation technischer Prozesse erfordert in der Regel die Losung von linearen Gleichungssystemen grosser Dimension. Hierfur werden moderne vorkonditionierte Iterationsverfahren (z.B. CG, GMRES, BiCGStab) hergeleitet und die zur Realisierung notwendigen Algorithmen beschrieben. Fur Systeme mit strukturierten Matrizen werden effiziente direkte Losungsverfahren angegeben. Numerische Beispiele fur praktische Problemstellungen illustrieren die Effizienz der vorgestellten Verfahren.

Ein ausgezeichnetes Buch uber technische Anwendungen der Mathematik: einfach, verstandlich, visualisiert. Vor mehr als 300 Jahren hat der Baseler Mathematiker Johann Bernoulli mit einer beruhmt gewordenen Preisfrage die Mathematiker seiner Zeit herausgefordert. Er stiess damit ein Tor zu einem neuen Gebiet der Mathematik auf, mit weit reichendem Anwendungspotential bis hin zur modernen Luft- und Raumfahrt. In diesem Buch erfahren Sie wie man Flugbahnen von Raumfahrzeugen, Bewegungen von Robotern oder den Verlauf chemischer Prozesse optimiert, wie man okonomische Ablaufe und Zusammenhange erfasst oder wie neue Kraftfahrzeuge getestet werden.